ch02
LAS MATEMÁTICAS DE LA
OPTIMIZACIÓN
1
Las Matemáticas de la
Optimización
• Muchas teorías económicas comienzan
con la suposición de que un agente
económico está tratando de encontrar el
valor óptimo de una función
– los consumidores buscan maximizar la utilidad
– las empresas buscan maximizar el beneficio
• En este capítulo veremos las matemáticas
comunes a estos problemas
2Maximización de una Función
con Una Variable
• Un ejemplo simple: El Gerente de un
empresa desea maximizar el beneficio
f (q)
Maximizar beneficio
de * dado un q*
*
= f(q)
q*
Cantidad
3
Maximización de una Función
con Una Variable
• es probable que el gerente trate de variar q
para ver donde se produce el máximo beneficio
– un aumento de q1 a q2 conduce un aumento de
0
q
*2
= f(q)
1
q1
q2
q*
Cantidad
4
Maximización de una Función
con Una Variable
• un incremento de la producción por encima
de q*, reduce el beneficio
– un incremento de q* a q3 lleva a una caída en
0
q
*
= f(q)
3
q*
q3
Cantidad
5
Derivadas
• La derivada de = f(q) es el límite de
/q para cambios muy pequeños en q
d df
f ( q1 h) f ( q1 )
lim
dq dq h 0
h
• Elvalor de esta relación depende del
valor de q1
6
Valor de la Derivada en un Punto
• El valor de una derivada en un punto q
= q1 se escribiría
d
dq q q
1
• En nuestros ejemplos anteriores,
d
0
dq q q
1
d
0
dq q q
3
d
0
dq q q *
7
Condición de Primer Orden para
un Máximo
• Para que una función de una variable
alcance su valor máximo en cierto punto,
la derivada en dicho punto debeser cero
df
0
dq q q *
8
Condición de Segundo Orden
• La condición de primer orden (d/dq) es
una condición necesaria para maximizar,
pero no es una condición suficiente
Si la función de utilidad tiene forma de u,
la condición de primer orden resultaría
en q* se elegiría y proporciona
un mínimo
*
q*
Cantidad
9
Condición de Segundo Orden
• Esto debe significar que, en order de q*para ser el óptimo,
d
0 para q q *
dq
y
d
0 para q q *
dq
• Por lo tanto, en q*, d/dq debe ser
decreciente
10
Segundas Derivadas
• La derivada de la derivada es llamada
segunda derivada
• La segunda derivada puede escribirse
así
d 2 d 2 f
o
o f " (q)
2
2
dq
dq
11
Condición de Segundo Orden
• La condición de segundo orden
representa un máximo (local)
2
d
f " (q ) q q * 02
dq q q *
12
Reglas para el cálculo de
Derivadas
db
1. Si b es una constante, entonces
0
dx
d [bf ( x)]
2. Si b es una constante, entonces
bf ' ( x)
dx
dx b
3. Si b es una constante, entonces
bx b 1
dx
d ln x 1
4.
dx
x
13
Reglas para el cálculo de
Derivadas
x
da
5.
a x ln a para cualquier constante a
dx
– un caso especial de esta regla es dex/dx = ex
14
Reglas para elcálculo de
Derivadas
• Suponga que f(x) y g(x) son dos
funciones de x y f’(x) y g’(x) existen
• Entonces
d [f ( x ) g ( x )]
6.
f ' ( x ) g ' ( x )
dx
d [f ( x ) g ( x )]
7.
f ( x )g ' ( x ) f ' ( x )g ( x )
dx
15
Reglas para el cálculo de
Derivadas
f ( x)
d
g ( x) f ' ( x) g ( x) f ( x) g ' ( x)
8.
dx
[ g ( x)]2
siempre y cuando g ( x) 0
16
Reglas para el cálculo deDerivadas
• Si y = f(x) y x = g(z) y si ambos f’(x) y
g’(x) existen, entonces:
dy dy dx df dg
9.
dz dx dz dx dz
• Esto se conoce como la regla de la
cadena. La regla de la cadena nos
permite estudiar cómo una variable (z)
afecta a otra variable (y) mediante su
influencia sobre alguna variable
intermedia (x)
17
Reglas para el cálculo de
Derivadas
• Algunos ejemplos de la regla de lacadena incluyen
de ax
de ax d (ax )
10.
e ax a ae ax
dx
d (ax ) dx
d [ln(ax )] d [ln(ax )] d (ax )
11.
ln(ax ) a a ln(ax )
dx
d (ax )
dx
2
2
2
d [ln( x )] d [ln( x )] d ( x ) 1
2
12.
2 2 x
2
dx
d(x )
dx
x
x
18
Ejemplo de Maximización de
Beneficios
• Suponga que la relación entre el beneficios
y la producción es
= 1,000q - 5q2
• condición de primer orden para un...
Regístrate para leer el documento completo.