CHAMILO

FCEyN - Estadística para Química

- 2do. cuat. 2006

-

Marta García Ben

Variables aleatorias continuas
Hemos definido que una variable aleatoria X es discreta si IX es un conjunto finito oinfinito
numerable.
En la práctica las variables aleatorias discretas sirven como modelos para hacer inferencias
estadísticas cuando los datos que se recogen son enteros (generalmente el "númerode algo").
Pero cuando los datos que se registran son continuos (por ejemplo estatura de una persona, contenido
de glucosa en una solución , porcentaje de hierro en un mineral, tiempo desde que unenfermo
comienza un tratamiento hasta que se observa una mejoría o un empeoramiento, o tiempo de
duración de una lamparita hasta que falla), se usan otro tipo de variables aleatorias como modeloprobabilístico: las variables aleatorias continuas.

Definición de variable aleatoria continua:
Una variable aleatoria X es (absolutamente) continua si existe una función f:R→R+ tal que
x

F(x) =∫

f(t)dt

−∞

Nota: la función f se llama función de densidad de la v.a. X

Comentarios:
1) Si X es v.a. continua ⇒ F es continua
2) F es continua ⇔ P(X=x0)=0 para todo x0 ∈R
3) Si X esv.a. continua ⇒
b

P(a ≤ X ≤ b) = F(b) – F(a) =

∫

f ( x ) dx

a

para todo a≤b
Propiedades de las funciones de densidad
Son funciones f:R→R que cuplen dos propiedades:
a)

f(x)≥0 paratodo x∈R
+∞

b)

∫

f(x)dx =1

−∞

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Marta García Ben

Ejemplo de función de densidad:
Ejemplo 1: f(x) = ax I[0,1](x)a) Cuanto vale la constante a?
b) Calcular P(X>0.5)
Interpretación intuitiva de la función de densidad:

1) Ver la relación entre la función de densidad y el histograma.
2) Significado intuitivodel valor de la función de densidad en un punto:
P(x0-h ≤ X ≤ x0+h) ≅ f(x0)2h
(esta propiedad vale para los puntos x0 donde la función de densidad es continua).
Comentario: ¿Que significa...