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UNIVERSIDAD DE LA FRONTERA ´ FACULTAD DE INGENIER´ CIENCIAS Y ADMINISTRACION IA ´ DEPARTAMENTO DE MATEMATICA Y ESTAD´ ISTICA ECUACIONES DIFERENCIALES

PRUEBA GLOBAL:ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Profesores : Adrialy Muci N, Eduardo Uribe S.

Nombre: Carrera: 1. (3+3) Para f (x) = g(x) considere la ecuaci´n diferencial oyf (xy)dx + xg(xy)dy = 0 a) Pruebe que µ(x, y) = (1)

1 es factor integrante xy (f (xy) − g(xy))

para (1). b) Use la parte a) para encontrar la soluci´n generalimpl´ o ıcita de (xy 2 + 2y)dx + (3x2 y − 4x)dy = 0 2. (2 + 3) Para x > 0 considere la ecuaci´n diferencial o xy + (x2 − 1)y + x3 y = x3 e−
x2 4

(2)

a) Encuentre lasoluci´n general de la ecuaci´n homog´nea sabiendo o o e √ 2 x 3 2 que una de sus soluciones es y1 (x) = e− 4 cos x 4 b) Encuentre la soluci´n general de la ecuaci´nno homog´nea o o e 3. (3)Resuelva la siguiente ecuaci´n diferencial: o y − 6y + 12y − 8y = xe2x + ex (3)

4. (3 + 1) Considere la siguiente ecuaci´n log´ o ıstica quemodela el crecimiento de una poblaci´n P (t) = aP (t) − bP (t)2 . Si la poblaci´n en o o t = 0 es P0 , demuestre que: a) El tiempo T en el cual la poblaci´n es el doblede la inicial es o a−2bP 1 T = − a ln( 2a−2bP00 ) b) La poblaci´n limite es a o b 5. (2) Estudie el dominio de existencia y unicidad de la ecuacion diferencial (x −2)1/3 y = √ x2 − 1 6. (2 + 2)Considere el siguiente sistema de ecuaciones x = −2(x + y) √ y = −2y + e−2t t a) Resuelva el sistema en forma matricial. b) Reducir elsistema a una sola ecuaci´n de orden superior. o 7. (2) Resuelva usando transformada de Laplace ty + 2ty + 2y = 0 bajo las condiciones iniciales y(0) = 0 e y (0) = 3

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