ciencia de la naturaleza

Las f´rmulas de Cardano-Ferrari
o
Carlos Ivorra
(http://www.uv.es/ivorra)

Los m´todos de resoluci´n por radicales de las ecuaciones polin´micas de tercer y
e
o
o
cuarto grado son unas de esas antiguallas absolutamente in´tiles que est´ feo que un
u
a
matem´tico no conozca. Como es bien sabido, si K es un cuerpo de caracter´
a
ıstica distinta
de 2 y a, b, c ∈ K, con a 6= 0, lassoluciones de la ecuaci´n cuadr´tica
o
a
ax2 + bx + c = 0
en una clausura algebraica de K vienen dadas por
√
−b ± b2 − 4ac
x=
,
2a
entendiendo que la ecuaci´n tiene una unica ra´ doble x = −b/2a cuando se anula el
o
´
ız
discriminante D = b2 − 4ac.
Tambi´n es conocido que Tartaglia y Cardano encontraron una f´rmula an´loga para
e
o
a
ecuaciones c´bicas (en la que aparecen ra´c´bicas adem´s de ra´ cuadradas) y que
u
ıces u
a
ıces
Ferrari encontr´ otra m´s compleja para ecuaciones cu´rticas. En realidad, m´s que
o
a
a
a
f´rmulas, encontraron m´todos de resoluci´n que pueden resumirse en sendas f´rmulas,
o
e
o
o
si bien, en el caso de las ecuaciones cu´rticas, la f´rmula es tan compleja que resulta
a
o
inmanejable, y es preferible describir el proceso deresoluci´n como un algoritmo de varios
o
pasos. Por ultimo, Abel demostr´ que, para n > 4, no existen f´rmulas an´logas que
´
o
o
a
expresen las ra´ de la ecuaci´n general de grado n en funci´n de sus coeficientes a trav´s
ıces
o
o
e
de sumas, productos, cocientes y extracci´n de ra´
o
ıces, lo que convierte a las f´rmulas de
o
Cardano-Ferrari en dos singularidades algebraicas.
Losresultados de Cardano-Ferrari llevaron al descubrimiento y al estudio de los
n´meros complejos. En principio, los algebristas trataban de resolver ecuaciones con
u
coeficientes reales (normalmente racionales), pero tales ecuaciones pueden tener soluciones imaginarias. Ciertamente, para encontrar ejemplos sencillos de esta situaci´n no
o
es necesario buscar entre ecuaciones c´bicas o cu´rticas,sino que modestas ecuaciones
u
a
cuadr´ticas sirven igualmente. Ahora bien, las ecuaciones cuadr´ticas con discriminante
a
a
negativo no “induc´
ıan” a buscarles ra´ imaginarias, ya que lo m´s natural era concluir
ıces
a
que no tienen soluci´n, y eso zanjaba el problema. En cambio, cuando una ecuaci´n c´bica
o
o u
tiene tres ra´ reales distintas —que pueden ser conocidas si uno “se laconstruye” para
ıces
verificar la f´rmula de Cardano— resulta que ´sta proporciona expresiones para dichas
o
e
1

ra´
ıces en la que aparecen ra´
ıces cuadradas de n´meros negativos. Fue esto lo que inu
dujo a los matem´ticos a plantearse que tal vez fuera posible operar coherentemente con
a
cantidades “imaginarias” de manera que, simplificando las expresiones imaginarias queproporciona la f´rmula de Cardano, se pudiera llegar finalmente a las soluciones reales de
o
la ecuaci´n.
o
Antes de entrar en materia puede ser ilustrativo recordar la forma en que puede deducirse la f´rmula para las ecuaciones cuadr´ticas. En primer lugar, podemos expresar la
o
a
ecuaci´n en la forma
o
b
c
x2 + x + = 0.
a
a
Esto hace que no perdamos generalidad si suponemos a = 1,simplificaci´n que ser´
o
a
util en el caso c´bico y cu´rtico, pero que, dada la sencillez del caso cuadr´tico, no vamos
´
u
a
a
a hacer aqu´ Tenemos entonces que −b/a es la suma de las dos ra´
ı.
ıces de la ecuaci´n,
o
luego −b/2a es la media de las ra´
ıces. Si hacemos el cambio de variable x = t − b/2a,
obtendremos una ecuaci´n en t cuyas ra´ ser´n las que resultan de restarle a cada una
oıces
a
de las dos ra´
ıces de la ecuaci´n original la media de ambas, y esto hace que la nueva
o
ecuaci´n tenga ra´ con media (luego tambi´n con suma) igual a 0. Equivalentemente,
o
ıces
e
la nueva ecuaci´n debe tener nulo el monomio de primer grado. Comprobamos que as´ es:
o
ı
√

!2

√

!

b
b
c
b2 − 4ac
+
t−
+ = t2 −
= 0.
a
2a
a
4a2
√
Por lo tanto, las...