Clase 20 Conceptos Generales De Funciones 2015

PPTCES032MT21-A15V1

MT-21

Clase

Conceptos generales de
funciones

Resumen de la clase anterior

Sistemas de inecuaciones de primer grado

Solución
desigualdad

Solución
gráfica

Solución
intervalo

Aprendizajes esperados
• Comprender la definición de función, reconociendo qué
condiciones debe cumplir una relación para ser una función.
• Comprender la noción de imagen, preimagen, dominio yrecorrido.
• Evaluar una función.

Pregunta oficial PSU
33. Si f(x) 3 2

1 x

, entonces f(– 1) es

A) 12
B) 0
C) 1
D) 3
E) 36

Fuente : DEMRE - U. DE CHILE, Proceso de admisión 2016.

1. Relaciones y funciones
2. Evaluación de funciones

1. Relaciones y funciones
Producto cartesiano
Dados los conjuntos A y B, su producto cartesiano (A x B) está
formado por cada uno de los pares ordenadosdonde el primer
elemento pertenece a A y el segundo a B:
A x B = {(a, b) / a  A y b B}
Ejemplo:

Si A = {a, b, c} y B = {1, 2} , entonces:
A x B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)}

1. Relaciones y funciones
Relación
Una “relación R” de un conjunto A a un conjunto B (R: A
B),
es un subconjunto del producto cartesiano entre A y B (A x B),
determinado por una o más condiciones.Ejemplo:
Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} y R una relación de A en B tal que:
R = { (a, b)  A x B / b es múltiplo de a}
Entonces:
A x B = {(2, 4); (2, 5); (2, 6); (3, 4); (3, 5); (3, 6); (7, 4); (7, 5); (7, 6)}
R = {(2, 4); (2, 6); (3, 6)}  A x B

1. Relaciones y funciones
Relación
A

R

B

2

4

3

5

7

6

B
R

6
5
4

El par (2, 4) pertenece a la relación R,
ya que 4 es múltiplo de 2.

2

3

7

ALos pares (2, 6) y (3, 6), también están relacionados, ya que 6 es múltiplo
de 2 y de 3.

Notación:

(2, 4)  R

ó

2R4

ó

R(2) = 4

(2, 6) R

ó

2R6

ó

R(2) = 6

(3, 6) R

ó

3R6

ó

R(3) = 6

1. Relaciones y funciones
Relación
Utilizaremos el ejemplo anterior para explicar algunos conceptos.
R = {(2, 4); (2, 6); (3, 6)}  A x B
A

R

B

2

4

3

5

7

6

Conjunto de partida: A
Preimágenes:{2, 3}

Conjunto de llegada: B
Imágenes: {4, 6}

Nota: De acuerdo al diagrama, se puede afirmar que 2 es “preimagen” de 4 y de
6, y que 4 es “imagen” de 2.

1. Relaciones y funciones
Relación
Dominio :

Es el conjunto formado por todos los elementos
del conjunto de partida que son preimagen de
algún elemento del conjunto de llegada.

Recorrido:

Es el conjunto formado por todos los elementos
delconjunto de llegada que son imagen de
algún elemento del conjunto de partida.

Ejemplo:
Si A = {2, 3, 7} y B = {4, 5, 6} , R una relación de A en B tal que:
R = {(2, 4); (2, 6); (3, 6)}  A x B entonces
Dom(R) = {2, 3} y Rec(R) = {4, 6}

1. Relaciones y funciones
Función
Una función f es una relación tal que todo elemento del conjunto de
partida tiene imagen, y esta es única.
Ejemplos:
1)Determine si la siguiente relación R es función:
La relación R NO es
función, porque c tiene
dos imágenes.

A

R

B

a

d

b

e

c

f

R(c)= e
R(c)= f

1. Relaciones y funciones
Función
2) De acuerdo al diagrama de la relación f, definida de A en B,
¿se puede decir que f es función?
A

f

B

3

6

f(3)= 6

5

7

f(5)= 6

4

9

f(4)= 7

f es función, ya que cada elemento del conjunto de partida tieneimagen y ésta es única.
Además: Dominio(f) = A
Nota:

y

Recorrido(f) = {6, 7}

Dom f = A. Ningún elemento del dominio tiene más de una imagen.

2. Evaluación de funciones
Evaluación de funciones reales
Ejemplo 1:
Sea f una función, definida en los reales como f(x) = 2x + 3. Entonces:
IR
a) f(1) = 2·1 + 3 = 5

f

IR

x

f(x)

1

5

c) f(7) = 2·7 + 3 = 17

3

d) f(12) = 2·12 + 3 = 27

7
12

9
17

b)f(3) = 2·3 + 3 = 9

…

…

27

2. Evaluación de funciones
Evaluación de funciones reales
e) Para f(x) = 2x + 3, determinar:
f(4) – 3·f(0)
f(– 1)

=

2·4 + 3 – 3·(2·0 + 3)
2·(– 1) + 3

=

8 + 3 – 3·(3)
1

= 11 – 9
= 2

2. Evaluación de funciones
Evaluación de funciones reales
Ejemplo 2: Sea g una función en los números reales, definida
por g(x) = x² + 2x. Entonces, g(1 – x) es
Como , g(x) = x² +...