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Distribución de Poisson

Lic. Noé Cortez

Los experimentos que resultan en valores numéricos de una variable aleatoria X, misma que representa el
número de resultados durante el intervalo de tiempo dado o una región específica, frecuentemente se
llaman experimentos o procesos de Poisson. El intervalo de tiempo dado puede ser de cualquier duración
de tiempo, por ejemplo un minuto, un día, unasemana, un mes o inclusive un año. De aquí que un
experimento de Poisson puede generar observaciones para la variable aleatoria X que representa el
número de de ocurrencias de algún evento en un lapso de tiempo dado. Por ejemplo:







Llamadas telefónicas que llegan a un conmutador,
Los arribos de los camiones y automóviles a la caseta de cobro
El número de accidentes en un cruce.
El número deenfermos que llegan a un consultorio en cierto intervalo de tiempo
El número de vehículos que pasan por una caseta de cobro en las horas de mayor tráfico
Número de estudiantes que llegan a efectuar algún trámite a la oficina del administrador académico

Los ejemplos citados tienen un elemento en común, pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que asume valores
discretos (0, 1, 2,3, 4,5 y así sucesivamente).

En teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad
discreta. Expresa la probabilidad de un número de eventos ocurriendo en un tiempo fijo si estos eventos
ocurren con una tasa media conocida, y son independientes del tiempo desde el último evento.
La distribución fue descubierta por Siméon-Denis Poisson (1781–1840)que publicó, junto con su teoría
de probabilidad, en 1838 en su trabajo Recherches sur la probabilité des jugements en matières
criminelles et matière civile [Investigación sobre la probabilidad de los juicios en materias criminales y
civiles].
Un proceso de Poisson consta de las siguientes propiedades:
1. El número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo o región específicos esindependiente de el número que ocurre en cualquier otro intervalo.
2. La probabilidad de que un resultado muy sencillo ocurra en un intervalo de tiempo muy corto o en
una región pequeña es proporcional a la longitud del intervalo de tiempo o al tamaño de la región.
3. La probabilidad de que más de un resultado ocurra en un intervalo de tiempo tan corto o en esa
región tan pequeña es despreciable (casicero).
El modelo matemático de Poisson, se representa por:

e  x
f ( x;  ) 
,
x!
Donde:




e es el base del logaritmo natural (e = 2.7182818284590452353602874713527…)
x! es el factorial de x,
λ es un número real positivo, equivalente al número esperado de ocurrencias durante un intervalo
dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren de media cada 4 minutos, y estás interesado en el número
deeventos ocurriendo en un intervalo de 10 minutos, usarías como modelo una distribución de
Poisson con λ = 2.5 ocurrencias como promedio.

Ejemplo 1:
Supóngase que estamos investigando la seguridad en un tramo de carretera que se considera muy peligroso. Los archivos de la
policía indican una media de cinco accidentes por mes en el referido tramo. El número de accidentes está distribuido conforme
ala distribución de Poisson, y la división de seguridad en carreteras quiere calcular la probabilidad de exactamente 0,1,2,3 y 4
accidentes en un mes determinado.

VAX: Número de accidentes en la carretera.
De la información, del enunciado, se tiene: un promedio λ

= cinco accidentes por mes

Aplicando la fórmula anterior, se tiene:
-5

0

-5

P (0) = (e ) (5) /0! = 0.0067
-5) (

P (3) = (e

1

P(1) = (e ) (5) /1! = 0.0337

3

-5) (

5) /3! = 0.1404

P (4) = (e

-5

2

P (2) = (e ) (5) /2! = 0.0842

4

5) /4! = 0.1755

Si se quiere calcular la probabilidad de 0, 1,2, 3 y 4 accidentes en 15 días, se hacen idénticos cálculos, pero el promedio, λ,
Cambia proporcionalmente a

λ = 2½ accidentes por cada quince días.

Calculemos:
-5

0

P (0) = (e ) (2.5) /0! = 0.0821
-5)

P (3) = (e

3...