Col 2 Ecuasiones diferenciales

UNIVERSIDAD ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERÍA
Ecuaciones Diferenciales – 100412_13













Actividad 10 Trabajo Colaborativo 2





Presentado por:
Fabián Wilfredo Correa C.C 15.327.770
Omar Olaya C.C 14.698.155





Tutor Virtual:
Miguel Andrés Heredia











05 de Mayo de 2013
INTRODUCCION:En este informe presentamos la actividad diez (10) correspondiente al Trabajo Colaborativo No. Dos (2), del curso Ecuaciones Diferenciales. En el documento se encuentra el consolidado de los ejercicios realizados individualmente por los integrantes del grupo colaborativo, en los que se ponen en práctica los conocimientos adquiridos sobre las Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden, de OrdenSuperior y sus campos de aplicación. Para lo anterior, se cuenta con el apoyo de los contenidos de la Segunda Unidad del material didáctico.































DESARROLLO DE LOS EJERCICIOS

Resuelva el problema de valor inicial

2x^2 y^''+3xy^'-y=0;si y(1)=2 y^' (1)=1

Se resuelve primero la ecuación y luego se remplazan los valores.
Pasamos laecuación de segundo orden a primer orden para poder remplazar.

Se integra

Y^'=∫▒(2x^2+3x-1)dx

Y^'=(2x^3)/3+(3x^2)/2-x+C_1 →Y^' (1)=1

1=(2〖(1)〗^3)/3+(3〖(1)〗^2)/2-1+C_1 →C_1=1-2/3-3/2+1

C_1=(-4-9+6)/6

C_1=(-7)/6

Y^' (x)=(2x^3)/3+(3x^2)/2-x-7/6

Y^' (x) ∫▒〖Y^' (x)dx〗=∫▒((2x^3)/3+(3x^2)/2-x-7/6) dx

Y^' (x)=3/2 (4x^4)/2+3/2 3^3/3-x^2/2-7/6 x+C_2

2=1/6+1/2-1/2-7/6+C_2

2-6/6=C_2→ C_2=1

Y(x)=x^4/6+x^3/2-x^2/2-7x/6+1

Determine el wronskiano de los siguientes pares de funciones

Y_1=1 e Y_2=log⁡x
Y_1=e^ax e Y_2=xe^ax
Y_1=e^(-x) e Y_2=e^2x


Solución:

Y_1=1 e Y_2=log⁡x

w(Y_1,Y_2 )= [■(1&logx@0&1/xln10)]=1/xln10-0=1/xln10≠0
Por tanto Y_1=1 y Y_2=log⁡x son linealmente independientes

Y_1=e^ax ⇒〖Y'〗_1=〖ae〗^ax
Y_2=xe^ax ⇒ 〖Y'〗_2=e^ax+〖axe〗^ax

w(Y_1,Y_2 )= [■(e^ax&xe^ax@ae^ax&e^ax+〖axe〗^ax )]=e^ax (e^ax+〖axe〗^ax )-〖axe〗^2ax=

w(Y_1,Y_2 )=e^2ax+〖axe〗^2ax-〖axe〗^2ax= e^2ax≠0 son linealmente independientes

Y_1=e^(-x) ⇒ 〖Y'〗_1=e^(-x)
Y_2=e^2x ⇒ 〖Y'〗_2=〖2e〗^2x

w(Y_1,Y_2 )= [■(e^(-x)&e^2x@-e^(-x)&2e^2x )]=〖2e〗^(-x) e^2x-e^2x (〖-e〗^(-x) )=
w(Y_1,Y_2 )=〖2e〗^(2x-x)+e^(2x-x)=〖2e〗^x+e^x=〖3e〗^x≠0 son linealmente independientes





Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes constantes.

4y^''-8y^'+7y=0
y^''+2y^'+3y=0
y^''-9y^'+20y=0

Solución:
4y^''-8y^'+7y=0

4m^2-8m+7=0 por formula general
a=4 b=-8 c=7
m=(-(-8)±√((-8)^2-4(4)(7)))/(2(4))=(8±√(64-112))/8=(8±√(-48))/8=(8±√(16*(-3)))/8m=(8±4√(-3))/8=(4(2)±√(-3))/8=(2±√(-3))/2=(2±√3i)/2 luego la solución es
m=1±(√3)/2 i
y=c_1 e^1x cos (√3)/2 x+c_2 e^1x sen (√3)/2 x
y=c_1 e^x cos (√3)/2 x+c_2 e^x sen (√3)/2 x

y^''+2y^'+3y=0

m^2+2m+3=0
a=1 b=2 c=3 por formula general
m=(-(2)±√((-2)^2-4(1)(3)))/(2(1))=(-2±√(4-12))/2=(-2±√(-8))/2=(-2±√(4*(-2)))/2
m=(-2±2√(-2))/2=2(1±√(-2))/2=1±√2i raices complejas luego la solución es
y=c_1 e^1xcos√2x+c_2 e^1x sen√2x
y=c_1 e^x cos√2x+c_2 e^x sen√2x

y^''-9y^'+20y=0
m^2-9m+20=0
(m-4)(m-5)=0
m-4=0 ⇒ m=4
m-5=0 ⇒ m=5 por tanto la solución es
y=c_1 e^4x+c_2 e^5x
























Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales por el método de coeficientes independientes:

a.y^''+3y^'-10y=6e^4x
b.y^''-2y^'+2y=e^x senx
c.y^''+3y^'+10y=〖25x〗^2+12Solución:
a.〖 y〗^''+3y^'+10y=6e^4x solución de la homogenea
m^2+3m-10=0
(m+5)(m-2)=0
m+5=0 ⇒ m=-5
m-2=0 ⇒ m=2
yh=c_1 e^(-5x)+c_2 e^2x como 4 no es solución de la homogenea
yp=〖ae〗^4x para hallar a derivamos
y'p=4〖ae〗^4x
y^'' p=16〖ae〗^4x reemplazamos en 〖 y〗^''+3y^'-10y=6e^4x
16〖ae〗^4x+3(4〖ae〗^4x )-10〖ae〗^4x=6e^4x
16〖ae〗^4x+12(〖ae〗^4x...