CombinacionFunciones

5.

ÁLGEBRA DE FUNCIONES

También es posible obtener una función a través del álgebra de funciones, es decir: suma, resta, multiplicación y/o división
de dos o más funciones conocidas.
Sea
una función conocida con dominio A y sea
posible obtener nuevas funciones de la forma siguiente:

Función

una función conocida con dominio B, de tal forma que es

Dominio

EJEMPLO:
Graficar la siguientefunción:

Esta función no se acomoda a ninguna de las funciones estudiadas hasta ahora, por lo que no es posible aplicar ninguna
de las técnicas estudiadas previamente para graficarla. Sin embargo, se puede observar que
puede ser reescrita como la
suma de dos funciones conocidas, las cuales se definen a continuación con sus respectivos dominios:

De acuerdo a lo anterior, la función
es el resultado de lasuma de las funciones
intersección de los dominios de estas funciones. Esto se muestra a continuación:

y

, cuyo dominio es la

Para obtener la grafica de
, simplemente debe hacer una correcta interpretación de la combinación realizada. La
nueva función tiene pares ordenada de la forma
, es decir, para obtener las ordenadas (valores y) de
,
solamente debe sumarse las ordenadas respectivas de lafunciones combinadas, para cada uno de los valores de las abscisas
(valores x). En la siguiente tabla se ejemplifica lo indicado, tomando algunos pares ordenadas de
y
con valor común de
abscisas, los cuales se utilizan para obtener las ordenadas de la función combinada.

–4
–3
0
5

0
1
2
3

3
2.5
1
– 1.5

3
3.5
3
1.5

Al graficar
se plotean los pares ordenados
, se inicia el trazo en el punto
y sebusca la tendencia
entre los puntos, recordando que la curva debe ser una combinación de la recta y la semi parábola horizontal, por lo que la grafica
debe ser una transformación de estas dos. De ser necesario se plotean más puntos para encontrar la tendencia entre los puntos.

2

FUNCIONES

A continuación se muestran las dos grafica utilizadas para encontrar la de

y

-6

-5

-4

-3

-2

:

y4

4

3

3

2

2

1

1

-1

1

2

3

4

5

6

x

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

-1

-1

-2

-2

2

3

4

5

6

x

Al combinar estas funciones a través de una suma, se obtiene:

y

4

3

2

1

-6

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

6

x

-1

-2

Un procedimiento similar se utiliza para trazar la grafica de funciones resultantes de una resta, producto o cociente de
funciones. Debe observar que laoperación se realiza con los valores de las ordenadas de las funciones combinadas, para el
mismo valor de abscisas. No debe olvidar que la nueva función tiene como dominio la intersección de dominios de las funciones
combinadas, con excepción del cociente, en donde debe eliminar de este conjunto aquellos valores que hagan que la función del
divisor sea cero.

Preparado por: Ing. Mario René De LeónGarcía

3

FUNCIONES
6.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Algunas funciones se pueden descomponer como una composición de dos o más funciones, este tema es muy útil
posteriormente en temas de cálculo. Esta operación consiste en valuar una función dentro de otra. Suponga las funciones
siguientes, con sus respectivos dominios y rangos:

A partir de esta función es posible definir una nueva función que resultede la composición de estas:

Esto será cierto, siempre y cuando el conjunto B y C sean iguales. Si esta condición no se cumple, es posible restringir
el dominio de la función evaluada, a efecto de asegurar que todos los elementos de la función compuesta encuentren una imagen;
en esta circunstancia el rango de la función compuesta podría ser un subconjunto de D. Para ilustrar estos conceptos estudieel
siguiente ejemplo:

EJEMPLO:
Sea la siguiente función:

Debe tener cuidado de no confundir la ecuación de
con la de un semi circulo, observe que no tiene la misma forma o
estructura algebraica. Luego de esto, entonces está función es la combinación de dos funciones ya conocidas:

de

Observe que el rango de
no coincide con el dominio de
no tengan imagen. Observe el siguiente diagrama de...