Combinatoriaa

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COMBINATORIA
Gerardo Alfaro Melero. IES José Manuel Blecua
A) Breve reseña histórica
El surgimiento y desarrollo de la combinatoria ha sido paralelo al desarrollo de otras ramas de las matemáticas, tales como el álgebra, teoría de los números, y probabilidad. Desde tiempos muy remotos ha habido problemas de combinatoria que han llamado la atención de los matemáticos. por ejemplo elproblema de los cuadrados mágicos que son arreglos de números con la propiedad de que la suma de los elementos de cualquier columna, renglón o diagonal es el mismo número, aparece en un viejo libro chino fechado 2200 a. C. Los cuadrados mágicos de orden 3 fueron estudiados con fines místicos. Los coeficientes binomiales, que son los coeficientes enteros de la expansión de (a+b)n fueron conocidos en elsiglo XII. El triángulo de Pascal que es un arreglo trinagular de los coeficientes binomiales fue desarrollado en el siglo XIII.

Se puede considerar que en el Occidente la combinatoria surge en el siglo XVII con los trabajos de Blaise Pascal y de Pierre Fermat sobre la teoría de juegos de azar. Estos trabajos, que formaron los fundamentos de la teoría de la probabilidad, contenían asimismo losprincipios para determinar el número de combinaciones de elementos de un conjunto finito, y así se estableció la tradicional conexión entre combinatoria y probabilidad.

El término "combinatoria" tal y como lo usamos actualmente fue introducido por Wilhem Leibniz en su Dissertatio de Arte Combinatoria. De gran importancia para la consolidación de la combinatoria fue el artículo de ArsConjectandi (el arte de conjeturar por J. Bernoulli; este trabajo estaba dedicado a establecer las nociones básicas de probabilidad. Para esto fue necesario introducir también un buen número de nociones básicas de combinatoria pues se usaron fuertemente como aplicaciones al cálculo de probabilidades. Se puede decir que con los trabajos de Leibniz y Bernoulli se inicia el establecimiento de lacombinatoria como una nueva e independiente rama de las matemáticas.

El matemático suizo Leonard Euler fue quien desarrolló a principios del siglo XVIII una auténtica escuela de matemática combinatoria. En sus artículos sobre la partición y descomposición de enteros positivos en sumandos, estableció las bases de uno de los métodos fundamentales para el cálculo de configuraciones combinatorias, que es elmétodo de las funciones generadoras. También se le considera el padre de la teoría de gráficas por el planteamiento y solución del problemas de los "Puentes de Königsberg" usando por primera vez conceptos y métodos de teoría de gráficas. Los primeros problemas de teoría de gráficas surgieron de la búsqueda de solución a algunos problemas cotidianos y también en el planteamiento de algunosacertijos matemáticos tales como el problema de los Puentes de Königsberg, el arreglo de reinas en un tablero de ajedrez con alguna restricción, problemas de transporte, el problema del agente viajero, etcétera.

El problema de los cuatro colores formulado a mediados del siglo XIX (cuatro colores son suficientes para colorear las regiones de un mapa de tal manera que regiones con frontera tenganasignados distinto color) pasó de ser un mero acertijo matemático a ser fuente de importantes problemas y resultados en teoría de gráficas de interés tanto teórico como en aplicaciones. Este ha sido uno de los problemas teóricos más desafiantes en la historia de la combinatoria debido a la simplicidad de su planteamiento.

En Inglaterra a finales de siglo XIX Arthur Cayley (motivado por el problemade calcular el número de isómeros de hidrocarburos saturados) hizo importantes contribuciones a la teoría de enumeración de gráficas. Por este tiempo el matemático George Boole usó métodos de combinatoria en conexión con el desarrollo de la lógica simbólica y con las ideas y métodos que Henri Poincaré desarrolló en relación con problemas de topología. Uno de los factores más importantes que han...
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