Compactaciones con resto finito

Compactaciones con resto finito
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1.Compactación
Definición 1.1. Una compactación de un espacio topológico X es un par ordenado (aX, a) donde aX es un compacto
Hausdorff, a: XØ aX es un homeomorfismo, y a(X) es denso en aX. Habitualmente se hace un abuso de notación,
identificando aX como la compactación de X e identificando X con a(X). Se denomina resto de lacompactificación a aX
- X.
La situación más simple es aquélla en la que aX - X contiene exactamente un punto.
Definición 1.2. Sea X un espacio Hausdorff localmente compacto y no compacto, y un punto p no perteneciente a X. Se
denomina compactación de Alexandroff de X (o compactación de X por un punto) a wX = X ‹ {p} con la topología en la
que los entornos básicos de los puntos de X no cambian y losentornos básicos de p son los conjuntos de la forma
{p} ‹ (X - L) donde L es un compacto de X. Entonces wX es compacto Hausdorff y X es un abierto denso en wX.
Si X tiene una compactificación por un punto (o en general si el resto de la compactación es finito) entonces X es abierto
en aX y por tanto localmente compacto.
En el conjunto K(X) de todas las compactaciones T2 de un espacio de Tychonoff esposible establecer un order parcial. Si
(a, aX) y (g, gX) son compactificaciones de X, diremos que (aX, a) ¥ (gX, g) si existe una aplicación continua
Fag : aX Ø gX tal que Fag ·a = g. Se cumple siempre que si aX es una compactación de X entonces bX ¥ aX ¥ wX,
siendo bX la compactación de Stone-!ech.
Definición 1.3. Si (aX, a) ¥ (gX, g) y (gX, g) ¥ (aX, a) diremos que (aX, a) y (gX, g) sonequivalentes y lo denotaremos por
(aX, a) º (gX, g).
Podemos construir compactaciones de X tomando el cociente de bX que resulta de colapsar subconjuntos compactos
disjuntos de bX- X con puntos distintos. Así, el cociente de bX que resulta de colapsar bX - X en un punto es equivalente
a aX. La única restricción es encontrar condiciones sobre la familia de subconjuntos compactos para que elcociente
resultante siga siendo Hausdorff.
En una serie de artículos aparecidos en los años 60 Magill abordó el problema de la existencia de compactaciones con
resto finito o numerable, obteniendo en particular el siguiente resultado:
Teorema 1.4 (Magill, 1965)
Sea X un espacio T2 y n œ !. Las siguientes condiciones son equivalentes:
1.5.1) X posee una compactación aX con |aX - X| = n
1.5.2) Xes localmente compacto y existen G1 , G2 , …, Gn abiertos en X, disjuntos dos a dos, tales que
X - HG1 ‹ G2 ‹ … ‹ Gn ) = K es compacto pero K ‹ Gi no es compacto para ningún i = 1, …, n
Demostración.
1.5.1) fl1.5.2). Sean p1 , p2 , …, pn los puntos de aX - X. Dado que aX es T2 , existen G '1 , G '2 , …, G 'n abiertos disjuntos
tales que pi œ Gi para todo i = 1, …, n.
Consideramos los conjuntosGi = G 'i › X, i= 1, …, n, abiertos de X no vacíos dado que X es denso en aX.
Sea K = X - HG1 ‹ G2 ‹ … ‹ Gn ) = aX - HG '1 ‹ G '2 ‹ … ‹ G 'n ). Tenemos que K es por tanto cerrado del compacto
aX y por tanto compacto.
Supongamos por otra parte que para algún i œ {1, …, n}, K ‹ Gi es compacto y por tanto un cerrado de aX (nota:
compacto en un Hausdorff). Entonces A= aX - (K ‹ Gi ) es abierto deaX. Pero entonces A › G 'i = {pi } sería un entorno
de pi , lo que contradice que X sea denso en aX.
Por último tenemos que X = aX - {p1 , p2 , …, pn }, con lo que X es abierto de aX y por tanto localmente compacto.

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Compactaciones resto finito.nb

Por último tenemos que X = aX - {p1 , p2 , …, pn }, con lo que X es abierto de aX y por tanto localmente compacto.
1.5.2) fl 1.5.1). Seanp1 , p2 , …, pn puntos distintos no pertenecientes a X. Definimos aX = X ‹ {p1 , p2 , …, pn }. Para
cada subconjunto H de X sea
H i = H ‹ {pi }. Diremos que un abierto H de X tiene la propiedad !i si (K ‹ Gi ) › (X - H) es compacto. Los conjuntos
H i tales que H tiene la propiedad !i constituyen una base de entornos para pi en aX. En efecto, si H1 y H2 tienen la
propiedad !i , entonces
(K ‹...