compactos

1. Sea (X, τ ) un espacio topol´gico. Demuestre que si K, K ⊂ X son subconjuntos
o
compactos, entonces K ∪ K tambi´n es compacto.
e
´
SOLUCION: Veamos que de cualquier recubrimiento abierto {Ai }i∈I de K ∪ K se
puede extraer un subrecubrimiento finito. En efecto, si {Ai }i∈I recubre K ∪ K
tambi´n recubre K, que como es compacto, admite un subrecubrimiento finito y lo
e
mismo ocurre con K .La uni´n de estos dos recubrimientos finitos tambi´n es finito
o
e
y es un recubrimiento finito de K ∪ K .
2. Sea (X, τ ) un espacio topol´gico de Hausdorff. Demuestre que si {Ki }i∈I es una
o
familia de subespacios compactos de X, entonces ∩i∈I Ki tambi´n es compacto.
e
´
SOLUCION: Como X es Haussdorff y los Ki son compactos, tambi´n son cerrados
e
y, por tanto ∩i∈I Ki es cerrado por serintersecci´n de cerrados. Entonces ∩i∈I Ki
o
tambi´n es compacto puesto que es un cerrado contenido en cualquiera de los Ki
e
que son compactos.
3. ¿Cu´les de los siguientes subespacios de R y R2 son compactos? Justifique la
a
respuesta.
a) [0, 1); b) [0, +∞); c) Q ∩ [0, 1]; d) D = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 = 1}
e) E = {(x, y) ∈ R2 :| x | + | y |≤ 1}; f) F = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y 2 < 1}
g) G= {(x, y) ∈ R2 : x ≥ 1, 0 ≤ y ≤ 1/x}
´
SOLUCION: Recordemos que en R y R2 los compactos son los conjuntos cerrados y
acotados. (a)No; no es cerrado. (b)No; no es acotado. (c) No; no es cerrado. (d)
S´ es cerrado y acotado. (e) S´ es cerrado y acotado. (f) No; no es cerrado. (g)No;
ı;
ı;
no es acotado.
4. Demuestre que un espacio topol´gico (X, τ ) es compacto si y s´lo si para toda
o
ofamilia de cerrados {Ci }i∈I tales que ∩i∈I Ci = ∅ existe una subfamilia finita
{Ci1 , ..., Cik } que cumple Ci1 ∩ ... ∩ Cik = ∅.
´
SOLUCION: ⇒ Si X es compacto y ∩i∈I Ci = ∅, esta familia de cerrados no
puede tener la propiedad de la intersecci´n finita, luego existe una subfamilia finita
o
{Ci1 , ..., Cik } que cumple Ci1 ∩ ... ∩ Cik = ∅.
⇐ Veamos que de todo recubrimiento abierto {Ai }i∈Ide X se puede extraer un
subrecubrimiento finito. En efecto, si X = ∪i∈I Ai , se tiene que ∅ = (∪i∈I Ai )c =
∩i∈I Ac y cada Ac es cerrado por ser complementario de un abierto; luego por la
i
i
hip´tesis, existe una subfamilia finita Ac1 , . . . , Acn tal que ∩n Ack = ∅, si pasamos
o
i
i
k=1 i
al complementario, tenemos (∩n Ack )c = X, es decir, ∪n Aik = X con lo que
k=1 i
k=1
hemosobtenido un subrecubrimiento finito.
5. Sea (X, τ ) un espacio topol´gico de Hausdorff, K ⊂ X un compacto y x ∈ K.
o
/
Pruebe que existen dos abiertos U y V en X, tales que x ∈ U , K ⊂ V y U ∩V = ∅.

1

´
SOLUCION: Si y ∈ K, x = y y como X es Haussdorff, existen Uy entorno abierto
de x y Vy entorno abierto de y tales que Uy ∩ Vy = ∅. Entonces K ⊂ ∪y∈K Vy y
como K es compacto, existe unsubrecubrimiento finito K ⊂ Vy1 ∪ · · · ∪ Vyn = V .
Tomemos entonces la intersecci´n U = Uy1 ∩ · · · ∩ Vyn de los entornos de x que se
o
corresponden con cada uno de los Vyk . Entonces U es un entorno abierto de x por
ser intersecci´n finita de entornos abiertos de x y cumple que U ∩ V = ∅.
o
6. Sean K y K dos subconjuntos compactos y disjuntos de un espacio de Hausdorff
(X, τ ). Pruebe que existensubconjuntos abiertos y disjuntos U y V tales que
K ⊂U y K ⊂V.
´
SOLUCION: Podemos aplicar el problema anterior y si x ∈ K, entonces x ∈ K
/
luego, como K es compacto, existen Ux entorno abierto de x y Vx abierto tal que
K ⊂ Vx con Ux ∩ Vx = ∅. Entonces K ⊂ ∪x∈K Ux y como es compacto, existe un
subrecubrimiento finito K ⊂ Ux1 ∪ · · · ∪ Uxn = U si, como en el ejercicio anterior
tomamos V =Vx1 ∩ · · · ∩ Vxn , tenemos un abierto (por ser intersecci´n finita de
o
abiertos), tal que K ⊂ V puesto que K ⊂ Vxk para todo k ∈ {1, . . . , n}. Adem´s,
a
es f´cil comprobar que U ∩ V = ∅.
a
7. Sea (X, τ ) un espacio topol´gico secuencialmente compacto y sea (Y, τ ) otro
o
espacio topol´gico. Sea f : (X, τ ) −→ (Y, τ ) una aplicaci´n continua. Demuestre
o
o
que (f (X), τf (x) ) es...