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6. INTRODUCCIÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

16.1 Introducción.

Una ecuación es una relación entre una serie de variables F(x, y, z, ...)=0. Por ejemplo:



expresa que las variables x e y guardan una relación en la forma gráfica de una elipse, en el plano OXY.

Las ecuaciones surgen en Matemáticas cuando se realiza el estudio de un fenómeno físico, siendo las variablesx,y,... ciertas magnitudes físicas (espacio, tiempo, velocidad, etc.). En ocasiones, al hacer un estudio físico no sólo aparece una dependencia entre las magnitudes sino que también pueden aparecer en ella sus derivadas.

Veamos un ejemplo práctico:

Desde una gran altura se deja caer un objeto de masa m . Queremos determinar la velocidad de caída de este objeto en función del tiempo t:La segunda ley de Newton nos indica que la suma de fuerzas que actúan sobre la masa será igual a su variación de momento lineal, por tanto:



siendo g la aceleración de la gravedad, k el coeficiente de fricción con el aire, y m la masa del objeto, es decir, g, m y k son constantes numéricas conocidas. Esta es una ecuación diferencial del tipo F(v(t), v, v’ ) = 0.

Para estaecuación es fácil comprobar que toda función v(t) de la forma:



cumple las condiciones de la ecuación, donde C es cierta constante indeterminada. A esta función v(t) se la llama solución general de la ecuación diferencial.

Dependiendo de las condiciones iniciales del problema podemos hallar diversas soluciones particulares, en nuestro ejemplo la velocidad inicial es nula (caída libre), porlo tanto: v(0)=0. Es decir,



y por tanto el valor de C, para este caso particular es



y al sustituir en la ecuación general obtenemos:



que es la solución particular que buscábamos.


16. 2 Ecuaciones diferenciales de una variable. Generalidades.

Se trata de una relación entre una variable x, la función buscada y(x) así como cualesquiera de sus derivadas, y‘(x),y”(x), ..., yn)(x) .

Simbólicamente lo expresaremos:

F(x, y(x), y’(x), y”(x), ..., yn)(x))=0

El orden de la derivada máxima que interviene en la ecuación se define como orden de la ecuación. Por ejemplo:



Se llama grado de la ecuación diferencial al máximo exponente al que se encuentra elevada la máxima derivada, aunque en numerosas ocasiones sea 1,como en los dos ejemplos de arriba, éste puede ser cualquier número entero. Por ejemplo:



Se trata de una ecuación diferencial de segundo orden, grado 3.

Es conveniente señalar que la solución general de una ecuación diferencial de primer orden vendrá dependiente de una constante indeterminada, en el caso de las de segundo orden dependerá de dos constantes, tres para las de tercer orden,etc.

* Solución general.

Es toda función y=f(x) que al sustituirla en la ecuación diferencial F(x, y, y’,...)=0 la convierte en una identidad. A veces, también es llamada Integral general.

Ejemplo:

Supongamos la ecuación diferencial de segundo orden (grado 1):



Como pronto veremos, su solución general puede ser expresada en la forma:

y(x) = C1 sen x + C2 cos xcomprobemos que esto en efecto es así:

y" = -C1 sen x - C2 cos x

al sustituir estos resultados de y", y en la ecuación diferencial, nos encontramos con la identidad:



lo cual nos asegura que esta y(x) es en efecto la solución general.


16. 3 Ecuaciones diferenciales de primer orden (grado 1). Generalidades.

Se trata de ecuaciones de la forma F(x, y(x), y’(x))=0 . Susolución general es de la forma y=f(x, C), aunque no siempre es posible expresar esta solución resuelta respecto a x, en muchas ocasiones la solución simplemente quedará como f(x, y,C)=0 que dibujadas gráficamente forman toda una familia de curvas en el plano OXY.

Las condiciones inciales -una sola condición en este caso- viene dada por:

y(xo) = xo

lo cual geométricamente equivale a dar...