Concurso de Matemáticas

1. ¿Cuántos número enteros positivos menores que 100 son tales que al dividirlos entre 7 dan un residuo igual a 3 y al dividirlos entre 5 dan unresiduo igual a 4?

Análisis

Múltiplos de 7 menores que 100

7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98
Como el residuo debe ser3, sumamos a esos números el 3 siempre que esa suma no pase de 100
10, 17, 24, 31, 38, 45, 52, 59, 66, 73, 80, 87, 94  Serie uno

Múltiplos de5 menores que 100

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 75, 80, 85, 90, 95
Como el residuo es 4, sumamos a esos números el 4siempre que esa suma no pase de 100
9, 14, 19, 24, 29, 34, 39, 44, 49, 54, 59, 64, 69, 74, 79, 84, 89, 94, 99 Serie 2

Comparando la serie unocon la dos encontramos los que se repiten y serán esos los números

Son tres: 24, 59, 94




















2. Se f unafunción tal que f(x)+3f(5-x)=x2+1
Determine el valor de f(3)

Sustituyendo 3 como valor de x nos queda

f(3)+3f(5-3)=(3)2+1
f(3)+3f(2)=10 Ec. 1como queda como incógnita el valor de f(2) lo ahora determinamos una ecuación que nos permita calcular dicho valor

Sustituyendo 2 como valorde x quedaría
f(2)+3f(5-2)=(2)2+1
f(2)+3f(3)=5 Ec. 2

Tenemos un sistema de ecuaciones con dos incógnitas
De la ecuación 2 despejamos f(2)f(2)=5-3f(3)

Sustituimos en la ecuación 1, f(2)

f(3)+3(5-3f(3))=10
f(3)+15-9f(3)=10
-8f(3)=-5
f(3)=-5/-8
f(3)=5/8