Contaminacion Delmedio Ambiente

Resumen

Estudio del límite de funciones en un punto; comenzaremos dicho estudio analizando la gráfica de una función. Trataremos los teoremas referentes a los límites de funciones y los límites indeterminados Estudio de la continuidad de funciones.









INDICE

1. INTRODUCCION 3

1.1. FUNCIONES CONTINUAS 4
1.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS 51.3. DISCONTINUIDADES EVITABLES 7
1.4. DISCONTINUIDADES NO EVITABLES 7
2. OBJETIVOS 7
3. FUNDAMENTO TEORICO 8
4. MARCO TEORICO 8
5. MODELACION 9
6. CONCLUSIONES 10
7. BIBLIOGRAFIAS 11














CONTINUIDAD DE FUNCIONES
INTRODUCCION
Se dice que una función f(x) es continua en un punto “a”, si y solo si se verifican lascondiciones siguientes:

La función existe en a.

Existe límite de f(x) cuando x tiende a a.

El valor de la función en el punto y el límite en dicho punto son iguales.

Cuando no se cumple alguna de las anteriores condiciones, se dice que la función es discontinua en el punto.
Por otra parte, se considera que la función es continua en un intervalo (a, b) cuando es continua en todopunto x, tal que a < x < b.



Ejemplo de función continua.



La función de la figura es discontinua en el punto x = 1.



1.1. FUNCIONES CONTINUAS

Para algunas familias de funciones es posible conocer su continuidad basándose en los siguientes criterios generales:

Las funciones polinómicas son continuas en todo el conjunto de los números reales.

Las funcionesracionales obtenidas como cociente de dos polinomios son continuas en todos los puntos del conjunto de los R, salvo en aquellos en los que se anula el denominador.

Las funciones potenciales, exponenciales y logarítmicas son continuas en todo su dominio de definición.

Las funciones trigonométricas seno y coseno son continuas en todo el conjunto de los números reales (en cambio, la funcióntangente es discontinua en los valores múltiplos impares de p/2).

1.2. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS

Dadas dos funciones f(x) y g(x) continuas en un punto o en un intervalo, se cumple entonces que:

La suma y la resta de ambas es una función continua en ese punto o intervalo.

El producto de las dos funciones es una función continua en ese punto o intervalo.

El cociente entreambas funciones es una función continua en ese punto o intervalo salvo en aquellos en los que el denominador se anula.

Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a), entonces la composición de funciones (g ° f) (x) es también continua en a.

1.3. DISCONTINUIDADES EVITABLES

Toda función que en un punto dado no cumple alguna de las condiciones necesarias para la continuidad sedenomina discontinua. Cuando la discontinuidad se debe al hecho de que existe el límite de la función en el punto, pero la función no está definida para el mismo, se habla de discontinuidad evitable.
Para obtener una nueva función que sea continua también en el punto de discontinuidad evitable, se procede del modo siguiente:

Se calcula el valor del límite de la función en el punto a.

Seañade el punto “a” al dominio de definición de la función, y se le asigna el valor:

F(a)=lim┬(x→a)⁡〖F(x)〗



La función f (x) presenta una discontinuidad evitable en el punto x = 2. F(x) sería continua en R.

1.4. DISCONTINUIDADES NO EVITABLES

Existen otros tipos de discontinuidades que no pueden resolverse, por lo que se llaman discontinuidades no evitables. Estas discontinuidades seclasifican en:

Discontinuidades de salto: cuando existen ambos límites laterales (por la derecha y por la izquierda), pero no coinciden.

Discontinuidades asintóticas: cuando el límite es infinito.

Discontinuidades por el dominio de definición: cuando existe el límite y la función está definida en el punto, pero ambos valores no coinciden.

En sentido genérico, se llama...