ContinuasC2

MATEMATICAS
2º Bachillerato

Proyecto

MaTEX

r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

Continuidad

CIENCIAS

Continuidad

MaTEX

Fco Javier Gonz´
alez Ortiz

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Tabla de Contenido
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c 2004 gonzaleof@unican.es
12 de junio de 2004

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MATEMATICAS
2º Bachillerato

1. Continuidad
1.1. ¿Qu´
e es una funci´
on continua?
1.2. Definici´
on de continuidad
1.3.Algebra de las funciones continuas
2. Discontinuidad
2.1. Discontinuidad Evitable
2.2. Discontinuidad de salto finito
2.3. Discontinuidad de salto infinito
3. Teoremas de Continuidad
3.1. Continuidad en un intervalo
3.2. Teorema de Bolzano
3.3. Teorema de los valores intermedios
3.4. Teorema de los Valores Extremos
4. Ejercicios de repaso
Soluciones a los Ejercicios
Soluciones a los Tests

r=A+lu
A

dB
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
Continuidad

Tabla de Contenido

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Secci´
on 1: Continuidad

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MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu

1. Continuidad

A

1.1. ¿Qu´
e es una funci´
on continua?

d

2

B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
Continuidad

Para una primera aproximaci´
on gr´
afica, si piensas en el grafo de una
funci´on, decimos que una funci´
on es continua cuando podemos recorrer elgrafo de la funci´on si tener que realizar ning´
un salto. Observa las figuras de
abajo

2

La funci´on de la izquierda no presenta ning´
un salto y decimos que es
continua. La funci´on de la derecha presenta un salto en el punto x = 2.
Decimos que no es continua en este punto.

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4

1.2. Definici´
on de continuidad
Definici´
on 1.1 Sea f una funci´
on y a ∈ Dom(f ) decimosque f es continua
en x = a cuando
lim f (x) = f (a)
(1)
x→a

La continuidad de f en x = a implica que se cumplan las condiciones:
1. La funci´on est´a definida en x = a, es decir exista f (a).
2. Exista el l´ımite de f en x = a.
3. Los dos valores anteriores coincidan.
Ejemplo 1.1. La funci´on f (x) = 3 es continua en todo punto a ∈ R
Soluci´
on: En efecto, para todo punto a ∈ R vemos que severifica la definici´on,
pues
lim f (x) = f (a) = 3

x→a

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2º Bachillerato
r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

CIENCIAS

MaTEX
Continuidad

Secci´
on 1: Continuidad

Ejemplo 1.2. La funci´on f (x) = C donde C es cualquier constante, es continua en todo punto a ∈ R
Soluci´
on: En efecto, para todo punto a ∈ R vemos que se verifica la definici´on,
pues
lim f (x) = f (a) = C

x→a

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on 1: Continuidad

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MATEMATICAS
2º Bachillerato
r=A+lu
A

Establecemos este resultado como

d
B
s=B+mv

Ejemplo 1.3. La funci´on f (x) = x2 es continua en todo punto a ∈ R
Soluci´
on: En efecto, para todo punto a ∈ R vemos que se verifica la definici´on,
pues
lim f (x) = lim x2 = f (a) = a2

x→a

x→a

Ejemplo 1.4. La funci´on f (x) = xn con n ∈ N es continua en todo punto
a∈R
Soluci´
on: Enefecto, para todo punto a ∈ R vemos que se verifica la definici´on,
pues
lim f (x) = lim xn = f (a) = an
x→a

CIENCIAS

MaTEX
Continuidad

La funci´on f (x) = C es continua en todo x ∈ R

x→a

Establecemos este resultado como
La funci´on f (x) = xn es continua en todo a ∈ R

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Secci´
on 1: Continuidad

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1.3. Algebra de las funciones continuas
Sean f y g funciones continuas enun punto a ∈ R. Entonces
Algebra de funciones continuas

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r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

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Suma
Producto
Cociente

c · f (x) con c ∈ R es continua en a ∈ R
f (x) + g(x) es continua en a ∈ R
f (x) · g(x) es continua en a ∈ R
f (x)
si g(a) = 0 es continua en a ∈ R
g(x)

Ejemplo 1.5. Calcular el valor de k para que la funci´on sea continua
f (x) =

x+k
2

x=1
x=1

f (x) =x+k
2

x=1
x=1

Soluci´
on: Siendo

MaTEX
Continuidad

Homogeneidad

f (1) = 2
lim x + k = 1 + k

x→1

Para que sea continua, 1 + k = 2 =⇒ k = 1 .
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Secci´
on 1: Continuidad

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Ejemplo 1.6. Calcular el valor de k para que la funci´
on sea continua
f (x) =

x+k
2−k

x=1
x=1

x+k
2−k

x=1
x=1

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r=A+lu
A

d
B
s=B+mv

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f (x) =
f (1) = 2 − k...