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PICI-109 ANALISIS DE DATOS
Ejercicios Solemne I

Problema I.- (15 puntos) Suponga una regresión lineal que incluye dos conjuntos de variables
regresoras.
Y = X1β1 + X 2β 2 + ε

(a) (3 puntos) Plantee el modelo que minimiza los errores al cuadrado.
Min S(β1,β 2 ) = Min (Y − X 1 β1 − X 2 β 2 )' (Y − X 1 β1 − X 2 β 2 )

Min S(β1,β 2 ) = Min {Y ' Y − 2( X 1 β1 + X 2 β 2 )' Y + 2 β '1 X '1 X2 β 2 + β '1 X '1 X 1 β1 + β ' 2 X ' 2 X 2 β 2 }

(b) (9 puntos) Encuentre las ecuaciones normales del modelo de minimización
∂S ( β1 , β 2 )
ˆ
ˆ
= −2 X '1 Y + 2 X '1 X 1β1 + 2 X '1 X 2 β 2 = 0
∂β1
ˆ
ˆ
X '1 X 1β1 + X '1 X 2 β 2 = X '1 Y

Ecuación Normal (1)

∂S ( β1 , β 2 )
ˆ
ˆ
= −2 X '2 Y + 2 X '2 X 1β1 + 2 X '2 X 2 β 2 = 0
∂β 2
ˆ
ˆ
X '2 X 1β1 + X '2 X 2 β 2 = X '2 Y

⎡ X'1 X 1
⎢X ' X
⎣ 2 1

ˆ
X '1 X 2 ⎤ ⎡ β1 ⎤ ⎡ X '1 Y ⎤
⎢ ⎥=⎢
X '2 X 2 ⎥ ⎢ β 2 ⎥ ⎣ X ' 2 Y ⎥
⎦⎣ ˆ ⎦
⎦

Ecuación Normal (2)

Matriz de ecuaciones normales

(c) (3 puntos) Si X1 ⊥ X2, encuentre una expresión para los estimadores de β1 y β2.
Si X1 ⊥ X2, entonces X’1X2 = X’2X1 = 0 luego,

ˆ
β1 = ( X '1 X 1 ) X '1 Y
−1

ˆ
β 2 = ( X '2 X 2 ) X '2 Y
−1

Dr. Nicolás Bronfman

1Problema II. (30 puntos) El siguiente modelo de regresión representa el costo marginal de corto
plazo de la producción de un bien (Y) en función del nivel de producción del bien (X).
2
2
3
Y = β0 + β1 X1 + β 2 X 2 + β3 X1 X 2 + β 4 X 4 + β5 X 5 + μ

Utilizando una muestra de 121 observaciones se realiza la regresión obteniendo los siguientes
resultados.
2
2
3
Y = 1, 7 X 1 + X 2 + 2 X1 X 2 + 2 X 4 + 3 X 5
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
ˆ
σ β0 = 0, 02; σ β1 = 0,85; σ β2 = 2; σ β3 = 0,5 ; σ β4 = 4; σ β5 = 0, 75

R 2 = 0,85

Responda las siguientes preguntas considerando que los datos de la muestra fueron estandarizados de
121

manera que ∑ ( yi − y ) = 120 .
2

i =1

(a) (3 puntos) ¿Cumple el modelo el supuesto básico de linealidad?

Cumple el supuesto de linealidad porque es unmodelo lineal en los parámetros aunque no sea lineal en
las variables regresoras.

(b) (7 puntos) ¿Cuál es el valor de R2Adj?

Sabemos que
R2 =

SS Re g
SS T

Luego, R

2
Adj

=

SS Re g
120

= 0,85 ⇒

SS Re g = 120 * 0,85 = 102

⇒

SS Re s = SS T − SS Re g = 18

18
(120 − 5) = 1 − 18 = 97 = 0,843
MSRe s
= 1−
= 1−
120
115 115
MST
120

(c) (5 puntos) ¿Cuál esel valor del test F?

F=

MSRe g
MSRe s

=

102

5 = 11730 = 130,3
18
90
115

Dr. Nicolás Bronfman

2

(d) (5 puntos) Considerando únicamente los valores del test F y R2Adj obtenidos en las preguntas
anteriores ¿qué puede concluir del modelo?

El modelo posee un muy buen ajuste (elevado R2Adj) y con alta significancia estadística (dado el
elevado valor del test F). Sinembargo, no se puede concluir nada más dado que no conocemos la
significancia estadística de los coeficientes de regresión, y tampoco se sabe si los residuos cumplen con
los supuestos básicos de un modelo de regresión múltiple.

(e) (10 puntos) Analice la significancia estadística de las variables regresoras.

1,70
= 2, 0 > t0,025 (116 ) = 1,981
0,85
1, 00
t=
= 0,5 < t0,025 (116 ) = 1,9812, 00
2, 00
t=
= 4, 0 > t0,025 (116 ) = 1,981
0,50
2, 00
t=
= 0,5 < t0,025 (116 ) = 1,981
4, 00
3, 00
= 4, 0 > t0,025 (116 ) = 1,981
t=
0, 75

ˆ
β1: t =

⇒

Se rechaza H 0 : β1 = 0

ˆ
β2:

⇒

Se acepta H 0 : β2 = 0

⇒

Se rechaza H 0 : β3 = 0

⇒

Se acepta H 0 : β4 = 0

⇒

Se rechaza H 0 : β5 = 0

ˆ
β3:
ˆ
β4:
ˆ
β5 :

Dr. Nicolás Bronfman

3Problema III.- (20 puntos)

Suponga el siguiente modelo lineal: Y = α + X1β1+ X2β2+ X3β3+ X4β4+ μ
Utilizando una muestra de 20 observaciones, y considerando un término constante, se realiza la
regresión de Y sobre las cuatro variables regresoras.
Complete cada una de las siguientes tablas que resumen los resultados de la regresión.
Estadísticas de la regresión
Coef. de determinación R2 =...