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Aplicaciones de la Distribución Chi-Cuadrado
Ejemplos

Prueba de Bondad de Ajuste- Distribución Binomial
Considere el siguiente caso. En la comercialización de manzanas, una empresa exportadora envía semanalmente lotes de 50 cajas al exterior, cada caja tiene un peso aproximado de 20 kilos. Las cajas son previamente almacenadas. Para el control de calidad se examinan al azar, si en algunacaja encuentran por lo menos una manzana malograda, esta es calificada mala. Para que pase el control mediante la inspección de la muestra no debe haber caja malograda, si solo existe una caja esta será cambiada, si hay mas de 1 en las 5 inspeccionadas, inspeccionaran las cincuenta cajas. Según las estadísticas pasadas de un total de 40 envíos, registro lo siguiente: Se puede afirmar que la variablenumero de cajas malogradas en la muestra de 5 sigue una distribución binomial?.

Solución: H0: La variable numero de cajas sigue una distribución Binomial. Ha: No siguen una binomial. Riesgo 0.10 Estimación de parámetros. En este caso n=5 y “p” es la probabilidad de encontrar una caja malograda que es desconocida, pero se supone constante a través del proceso de control de calidad. Estimaciónde p. Promedio (x) = np Promedio ponderado = (0x6+…+5x1) /40 = 1.775 “p” estimado es: 1.775/ 5 = 0.355 Con estos resultados se procede a los cálculos de los valores esperados, Bajo la hipótesis planteada, que la variable X es binomial, los valores observados y esperados serian:

X

Frecuencias Observada s

pi

Frecuencias Esperadas

Reagrupadas

(Oi-El)2/Ei

0 1 2 3 4 5

6 13 10 73 1 40 19 10 11

0,1116 0,3072 0,3382 0,1861 0,0512 0,0056

4,4654 12,2885 13,5268 7,4450 2,0488 0,2255 40 1,3894 16,7538 13,5268 9,7193 0,3011 0,9195 0,1687

Valor Chi Cuadrado (3-1-1)=1 g.l

2,70554397

Hay evidencia , para afirmar que los datos se ajustan a la distribución binomial: Binomial (n=5 , p=0.355)
5 P( X = x) = C x (0.355) x (0.645) 5− x x : 0,1,2...,5

Prueba deIndependecia
• Ejemplo El consejo de administración de Telefónica desea conocer si la opinión, Y, de sus accionistas respecto a una posible fusión es independiente del número de acciones, X, que poseen. Una muestra de 500 accionistas proporciona la siguiente tabla:

Número de Acciones

Opinión
A favor En contra Indecisos Total

Menos de 200 200-1000 Más de 1000 Total

25 93 82 200

18 62 70150

21 67 62 150

64 222 214 500

Contrastar a un nivel de confianza del 99,5% la independencia de las variables Número de Acciones y la Opinión. La población en estudio son los accionistas de Telefónica y deseamos ver si existe dependencia entre el número de acciones y la opinión acerca de una posible fusión. Se trata de un test no paramétrico donde las hipótesis nula y alternativa son: Ho: Nro de Acciones y Opinión son independientes H1: Nro de Acciones y Opinión son dependientes El nivel de confianza es 1- α = 0,95, luego α = 0,05 y el tamaño muestral n=500 Calculamos los valores esperados eij bajo la hipótesis nula (independencia de X e Y) aplicando la fórmula donde n es el tamaño de la muestra, 500. Por ejemplo e11=64.200/500=25,6 e12=64.150/500=19,2 La tabla de losvalores esperados sería:

Número de Acciones

Opinión
A favor En contra Indecisos Total

Menos de 200 200-1000 Más de 1000 Total

25,6 88,8 85,6 200

19,2 66,6 64,2 150

19,2 66,6 64,2 150

64 222 214
χc 500

El valor del estadístico experimental vale: =
χc

El valor del punto crítico es el valor de una chi-cuadrado con (3-1).(3-1) = 4 grados de libertad y 1-alfa =0,95 TablaChi-Cuadrado con 4 g.l. da: X20.95(4)= 9.48 La región crítica es, es decir, rechazamos Ho si: Valor Chi-Cuadrado Calculado es mayor a 9.48; Como = 1,53 es menor que 14,86 se acepta Ho y podemos decir que no tenemos evidencias de que Nro de Acciones y la Opinión sean dependientes y se acepta la hipótesis de que la opinión de los accionistas es independiente del número de acciones que poseen con un...
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