Cuerda tensa

INFORME OSCILACIONES EN UNA CUERDA TENSA

Resumen— Esta práctica se desarrollo con el fin de entender el comportamiento que presentan las ondas mecánicas de cualquier tipo, teniendo como base las ondas estacionarias que se originan en una cuerda tensa

Abstract--- This practice was developed in order to understand the behaviors of mechanical waves of any kind, based on standing wavesoriginating from a taut string

Índice de Términos— onda estacionaria, nodo, antinodo, tensión, frecuencia fundamental.
1. INTRODUCCIÓN
Durante el desarrollo de la práctica se aplicaron los conceptos teóricos de las características de las ondas estacionarias, como lo son los modos fundamentales de oscilación, al entender el comportamiento de las ondas estacionarias se podrá entender más fácilmenteel comportamiento de las ondas viajeras

2. OBJETIVOS
* Determinar los modos normales de vibración de una cuerda fija en ambos extremos.
* Verificar experimentalmente la relación de las frecuencias en estado de resonancia de las cuerdas con respecto a los parámetros: Tensión, longitud y densidad.
* Encontrar la densidad de la cuerda utilizada

3. MATERIALES
* Generador deseñales.
* Frecuencímetro.
* Balanza de 0,01 g de resolución.
* Vibrador.
* Cuerda, porta pesas, masas de 50 gramos.
* Cinta métrica graduada en mm.

4. MARCO TEORICO
Considérese una cuerda de longitud L y densidad lineal de masa μ, sujeta en los extremos x = 0 y x = L. La cuerda se hace oscilar en un punto por medio de un vibrador conectado a un generador de ondassenoidales. En estas condiciones, el sistema se constituye en un oscilador forzado. Un análisis de las ondas incidentes y reflejadas que se forman en la cuerda 1 lleva a la siguiente función de onda como solución de la ecuación diferencial unidimensional de onda:

γ(x, t) = (Asenkx + Bcoskx)senwt (1)

Claramente (x, t) no describe una onda viajera ya que x y t no están involucrados enel argumento de esta función en la forma (x ± vt). Esto da como resultado una amplitud que tiene la característica de ser fija para cada punto particular de la cuerda, pero variable de un punto a otro a lo largo de la misma. La expresión para la amplitud ser ‘a entonces:
(x, t) = (Asenkx + Bcoskx) (2)
Las constantes A y B se determinan con las condiciones iníciales.
Así laexpresión:


Indica que cada punto de la cuerda tiene un movimiento armónico transversal de frecuencia ώ.
Cuando la cuerda este en resonancia con el agente externo que produce el movimiento, se presentaran los distintos modos propios de oscilación y los desplazamientos transversales tendrán su máxima amplitud.
Para encontrar las frecuencias fn correspondientes a los modos propios de oscilación seutilizan las siguientes condiciones de frontera:
• γ(0,t)=0
• γ(L,t)=0
De la primera condición de frontera se obtiene:

[Asenk(0) + Bcosk(0)]senwt = Bsenwt = 0
Por lo tanto B = 0 y la ecuación (1) queda de la siguiente manera:
Γ(x, t) = Asenkx senῳt

De la segunda condición de frontera:
AsenkLseῳt = 0

En esta ecuación A y senῳt deben ser diferentes de cero. Por tanto:
senkL = 0
Locual es válido para kL = nл con n = 1, 2, 3...

Figura 1 ondas estacionarias en la cuerda

Utilizando las expresiones del movimiento ondulatorio
(3)
(4)

Donde v son el número de onda y la velocidad de propagación de la onda respectivamente, se obtiene la siguiente expresión para las frecuencias correspondientes a los modos propios de oscilación de lacuerda:

(5)

De la dinámica asociada a las ondas transversales en una cuerda, la velocidad de propagación de ellas a lo largo de la misma está dada por:

(6)

Siendo T la tensión en la cuerda. La expresión para las frecuencias propias queda en definitiva:
(7)
n = 1 corresponde al modo fundamental:

n = 2 corresponde al segundo...