DEADMAN

Solución de Examen Final de Cálculo I
Primer semestre de 2014
1. f es par;
f %: ( 1; 5) ; ( 5; 3) ; (0; 3)
f &: ( 3; 0) ; (3; 5) ; (5; 1)

Puntos críticos: 7, 3, 0, 3, 7; hay valores máximoslocales en x = 3 y x =
valor mínimo local cuando x = 0.

3, y hay un

f ^: ( 1; 8) ; ( 7; 5) ; ( 1; 1) ; (5; 7) ; (8; 1)
f _: ( 8; 7) ; ( 5; 1) ; (1; 5) ; (7; 8)
Hay asíntotas verticales en x =5 y x = 5.

Hay una asíntota horizontal cuando y =
2.

100
x

1.

= tan , luego x ( ) = 100 cot .
dx
dx d
dx
=
=)
= 100
dt
d dt
dt
dx
dt

=

100 csc2 ( =6) ( 0; 25) =csc2

d
dt

100 4 ( 0; 25) = 100:

= =6

3. Los puntos sobre la circunferencia satisfacen la ecuación x2 + y 2 = R2 . El área del rectángulo
inscrito se puedepver por simetría que es A = 4xy,pero de la ecuaciónpde la circunferencia
se tiene que y = R2 x2 . Luego la función a optimizar es A (x) = 4x R2 x2 , x 2 [0; R].
Claramente si x = 0 ó x = R entonces A = 0. Encontremos entonces elvalor que máximiza
el área.
Derivando se tiene que
p

x ( 2x)
4 (R2 2x2 )
x2 + p
= p
:
2 R 2 x2
R 2 x2
p
p
A0 (x) = 0 si R2 p 2x2 = 0. Al factorizar esta expresión se tiene que R
2x R
2x=
2
0, luego x p=
R, pero dado el dominio de de…nición de la función consideramos solo el
2
2
valor x = 2 R.
A0 (x) = 4

R2

Se puede mostrar que en dicho punto hay un valor máximoutilizando el criterio de la primera
derivada o el criterio de la segunda derivada.
Por el criterio de la primera derivada basta con ver que A0 (x) > 0 si x 2
A0 (x) < 0 si x 2

p

2
R; R
2

.Por el criterio de la segunda derivada es necesario encontrar A00 (x).
0
1
p
(R2 p2x2 )( 2x)
2
2
(
4x)
R
x
2 R2 x2
A
A00 (x) = 4 @
2
2
R
x
!
( 4x) (R2 x2 ) + x (R2 2x2 )
4x (2x23R2 )
= 4
=
:
(R2 x2 )3=2
(R2 x2 )3=2
2

0;

p

2
R
2

y

Ahora A00

p

2
R
2

< 0, por lo tanto en x =

p

2
R
2

la función A se hace máxima.

A partir deplo...