Deberes

ESCUELA SUPERIOR POLITÉCNICA DEL LITORAL

Solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales
2do Parcial (3ra versión)
• • • • • • • Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares Transformada de Laplace Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales Aplicaciones de las ecuacionesdiferenciales de segundo orden Series de Fourier Ecuaciones en Derivadas Parciales

Roberto Cabrera V. dcabrera@fiec.espol.edu.ec 06/02/2009

Este es un solucionario de problemas de Ecuaciones Diferenciales correspondiente a la Segunda Evaluación, donde constan ejercicios tipo examen. Esta obra ha sido elaborada por Roberto Cabrera y Christian de La Rosa, ex – estudiante de la ESPOL, con el auspiciode la directiva A.E.F.I.E.C. de los años 2006, 2007, 2008. Modificado y corregido dos veces por Roberto Cabrera.

Ecuaciones Diferenciales – II Parcial Resumen de problemas resueltos de Ecuaciones Diferenciales II Parcial i. Resolución de ecuaciones diferenciales alrededor de puntos singulares: Método de Frobenius Transformada de Laplace: Teoremas Transformada de Laplace de algunas funcionesTransformada inversa de Laplace Resolución de ecuaciones diferenciales mediante la transformada de Laplace: Ecuaciones diferenciales de coeficientes constantes Ecuaciones diferenciales de coeficientes variables Ecuaciones integro diferenciales Resolución de sistemas de Ecuaciones diferenciales: Método de Eliminación Método de los operadores diferenciales Método de Laplace Método de los valores yvectores propios. Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales de segundo orden: Aplicaciones de Sistema: Masa – Resorte – Amortiguador Aplicaciones de circuitos eléctricos Series de Fourier Definición de la serie de Fourier Serie de Fourier de una función par e impar Convergencia de una serie de Fourier Extensiones pares o impares periódicas de una serie de Fourier Problema de la ecuación del calorAnexos: Problemas propuestos Tabla de transformadas de Laplace de ciertas funciones Tabla de transformadas inversas de Laplace de ciertas funciones

ii.

iii.

iv.

v.

vi.

vii. viii.

-2Roberto Cabrera V.

Ecuaciones Diferenciales – II Parcial

Método de Frobenius
1. Determine la solución general de la ecuación diferencial: , mediante series de potencias de x. Utilice la raízde mayor valor de la ecuación indicial asociada a la ecuación diferencial dada para establecer la primera solución, ésta como una función elemental; y, luego utilice algún procedimiento conocido para definir la segunda solución linealmente independiente e igualmente exprésela como una función elemental. Asumiendo la solución alrededor del punto , entonces , por lo tanto caso , se tiene queverificar que clase de punto es, en este es un punto singular.

Lugo se verifica si es singular regular.
i) ii) (existe) (existe)

Los dos límites existen, por lo tanto es un punto singular regular. La fórmula de la ecuación indicial indica:

, se obtiene que: Las raíces de la ecuación indicial son: Asumiendo la solución como: ,y .

Obteniendo la 1ra y 2da derivada:

Reemplazando y, y’,y’’ enla ecuación diferencial

se obtiene:

Introduciendo los coeficientes de cada sumatoria:

Se iguala las potencias de todas las sumatorias, en esta caso a cambio de parámetro en alguna en la tercera sumatoria.

, haciendo un

-3Roberto Cabrera V.

Ecuaciones Diferenciales – II Parcial La nueva ecuación queda así:

Se iguala los subíndices de cada sumatoria al mayor de todas, en estecaso a desarrollan dos términos en la primera y segunda sumatoria:

. Luego se

Se agrupan los coeficientes de cada sumatoria en una sola sumatoria:

Igualmente los coeficientes de Como , se obtiene , que es la misma ecuación indicial anterior.

si puede ser igual a cero. En este caso La ecuación de recurrencia es:

Despejando el valor de

, se obtiene la fórmula de recurrencia...