Deduccion

PROGRESION GEOMETRICA


DEFINICION


Dados los números reales no nulos a 1 y r y los números enteros positivos n y k ( 1 ( k < n ) , entonces:

a 1 , a 2 , a 3, .......... , a n

es una progresión geométrica, si:

(k ( a k + 1 = a k r )

r se denomina cociente o razón , generalmente.

Ejemplo: 4 , 12 , 36 , 108 , 324 , es una progresióngeométrica ( r = 3 ).


PROPIEDADES


1 ) Si a t pertenece a la progresión geométrica: a 1 , a 2 , ........ , a n , entonces:

a t = a 1 r t – 1

Ejemplo: Si los números: 2 , 6 , 18 ,........... , 486 forman una progresión geométrica. Calcula el quinto término de ella.

r = [pic] = 3

a 5 = 2 × 3 5 – 1 = 162

2 ) Si a t y a s pertenecen a la progresióngeométrica: a 1 , a 2 , ........ , a n , entonces:

a t = a s r t – s

Ejemplo: Si la razón ( r ) de una progresión geométrica es 0,5 y su tercer término es 192. Calcula su séptimo término.

a 7= a 3 × r 7 – 3

a 7 = 192 × 0,5 7 – 3

a 7 = 192 × 0,5 4

a 7 = [pic]

a 7 = 12


3 ) Si a t , a s , a p y a q pertenecen a la progresión geométrica: a 1 , a 2 ,........ , a n , entonces:

a t × a s = a p × a q ( t + s = p + q

Ejemplo: Si el segundo , quinto y décimo término de una progresión geométrica son respectivamente: 2 , 16y 512. Calcula su séptimo término.

a 7 × a 5 = a 2 × a 10

a 7 × 16 = 2 × 512

a 7 = [pic] = 64

4 ) A excepción del primer y último término de una progresión geométrica,cada término de ella es media geométrica entre su antecesor y su sucesor

Ejemplo: En la progresión: 2 , 6 , 18 , 54 , 162 ; 18 es media geométrica entre 6 y 54.

5 ) La suma de los ntérminos ( S n ) de la progresión geométrica: a 1 , a 2 , ........ , a n , está dada por:

a 1 ( r n – 1 )
S n = ——————– ; r ( 1
r – 1

S n = n a 1 ; r = 1...