delalala

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CAPITULO 2

Derivada de una funci´n
o
Licda. Elsie Hern´ndez Sabor´
a
ıo

Instituto Tecnol´gico de Costa Rica
o
Escuela de Matem´tica
a

···
Revista digital Matem´tica, educaci´n e internet (www.cidse.itcr.ac.cr)
a
o

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Cr´ditos
e

Edici´n y composici´n final:
o
o
Gr´ficos:
a

´
Rosario Alvarez, 1984.
Marieth Villalobos, Alejandra Araya, Jessica Chac´n, MarianelaAbarca, Lisseth Angulo
o
y Walter Mora.
Evelyn Ag¨ero.
u
Walter Mora, Marieth Villalobos, Evelyn Ag¨ero.
u

Comentarios y correcciones:

escribir a wmora2@yahoo.com.mx

Primera edici´n impresa:
o
Edici´n LaTeX:
o

Contents
2.1

Derivada de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.1.1 Introducci´n . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.1.2 La derivada de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.1.3 Notaciones para la derivada de una funci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.1.4 Continuidad y derivabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.5 Teoremas sobrederivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Derivada de una funci´n compuesta (Regla de la cadena) . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.1.7 Diferenciales. Interpretaci´n geom´trica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
e
2.1.8 Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.1.9 Derivada de la funci´n logar´
o
ıtmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.10 Derivada de la funci´n exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
2.1.11 Derivadas de la funciones trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.1.12 Derivadas de las funciones inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . .
2.1.13 Las funciones trigonom´tricas inversas y sus derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.1.14 Funciones param´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
e
2.1.15 Funciones impl´
ıcitas y su derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.16 Teorema de Rolle (o teorema sobre las ra´
ıcesde la derivada) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.17 Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de Lagrange) . . . . . . . . . . . . . .
2.1.18 Teorema de Gauchy del valor medio (o extensi´n del teorema del valor medio para derivadas)
o
2.1.19 Regla de L’Hˆpital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o

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4

Cap´
ıtulo 2: Derivadas

2.1

Derivada de una funci´n
o

2.1.1

Introducci´n
o

El problema de la tangente
“Muchos de los problemas importantes del an´lisis matem´tico pueden transferirse o hacerse depender de un
a
a
problema b´sico que ha sido de inter´s para los matem´ticos desde los griegos (alrededor de 300 − 200a.deJ.C).
a
ea
Es ´ste el problema de trazar una recta tangente a una curva dada en un punto espec´
e
ıfico a ella.
Este problema fue resuelto por m´todos especiales en un gran n´mero de ejemplos aislados a´n en la teme
u
u
prana historia de las matem´ticas. Por ejemplo, es bastante f´cil resolver el problema si la curva es un c´
a
a
ırculo,
y todo estudiante ha visto esta soluci´n en su geometr´ desecundaria. Sin embargo, no fue si no hasta el
o
ıa
tiempo de Isacc Newton (1642 − 1727) y de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 − 1716) que se dio un m´todo gene
eral sistem´tico para obtener la soluci´n. En este sentido se acredita a estos dos hombres la invenci´n del c´lculo.
a
o
o
a
Aunque el problema de la tangente pueda parecer de poco inter´s a los no matem´ticos, el hecho es que...