Dfb I2

a ) Sea A tal que A−1

]

1
2
1

[
=

1
0
1

]

[

]

[

3
5
17

, A−1

]

[
=

2
0
3

]

[
y A−1

2
1
10

]

[
=

1
1
1

]

Calcule A.
Soluci´n:
o
[
Se tiene A−1
[

[

1
2
1

3
2
5
1
17 10

1
0
1

2
0
3

11
10
10

[
Entonces

1
2
1

][

0
1
0

3
5
17

2
1
10

12
00
13

1
1
1

00
1

13
25
1 17

]

=

2
0
3

1
1
1

]
. Es decir:

]− 1

[
∼

2
1
10

1
0
1

][

= A. Se calcula entonces la inversa:
1
0
0

00
10
01

3
−1
0

3
−1
0

−1 −2
0
1
1
0

−1 −2
0
1
1
0

]

[
=

]
.

0
1
1
1 −1 1
−14
9 15

]
= A.

b ) Sean A y B matrices cuadradas e invertibles tales que (A + B ) y (B −1 A + I )
soninvertibles. Demuestre que
(
)
det (A + B )−1 A + (B −1 A + I )−1 = 1.
Soluci´n:
o

(A + B )−1 A + (B −1 A + I )−1 =
=
=
=
=
Por lo tanto queda det(I ) = 1.
1

(A + B )−1 A + (B −1 A + B −1 B )−1
(A + B )−1 A + ( B −1 (A + B ) )−1
(A + B )−1 A + (A + B )−1 B
(A + B )−1 (A + B )
I



1
1
2. Sea a ∈ R y A =  1
0

1
a
a
0

1
a
a2
0



0
0
. Determinetodos los valores de a tal que:
0
3
a

a ) A sea invertible.
Soluci´n:
o
Una forma es considerar que el determinante de A debe ser distinto de 0.
det(A) = a4 (1 − a)2 . Luego A es invertible si y s´lo si a ̸= 0 y a ̸= 1.
o
b ) A sea positiva definida.
Soluci´n:
o
Una forma es considerar que los determinantes de las submatrices principales
de A deben ser positivos.
det(A1 ) = 1, det(A2) = a − 1, det(A3 ) = a(a − 1)2 y det(A) = a4 (a − 1)2 .
Entonces la condici´n queda a ∈ (1, ∞).
o
o
c ) A admita la descomposici´n A = LU .
Soluci´n:
o
Si a = 1, entonces al hacer: F2 → F2 − F1 y F3 → F3 − F1 queda:


11

1

0

00

0

1

0 0 0 0
A ∼  0 0 0 0 , y hay necesariamente un intercambio de la fila 4, luego A
no admite LU .
Si a ̸= 1, entonces queda:

1
1
A= 1
0

0
1
1
0

0
0
1
0



1
1
1
0
0
0   0 a−1 a−1 0 
. Por lo tanto A admite LU .
0 a2 − a 0 
00
3
0
0
0
a
1

2

[
3.

a ) Sea A =

a1,1 a1,2 a1,3
a2,1 a2,2 a2,3

]

[
yB=

a1,1
a1,2
5a1,3
a2,1 − 3a1,1 a2,2 − 3a1,2 5(a2,3 − 3a1,3 )

]
.

Demuestre que existen E1 y E2 matrices elementales tales que E1 A = BE2 .
Soluci´n:
o
[Basta considerar E1 =

1
−3

0
1

[

]
y E2 =

10
01
00

0
0
1/5

]
.

b ) Sea x ∈ R. Calcule el determinante de la siguiente matriz de 100 × 100.
1
x
0



0

0
0

11
00
x0
.
.
.

···
···
···
..
.

0
0
0

···
···
···

0
0
0



1
0
0

11
0 2
0 2

.
.
.
.

0 0 2

x02
0x2

Soluci´n:
o
Si x = 0, quedandos filas iguales y el determinante es 0.
Si x ̸= 0, se realizan las operaciones Fi → (1/x)Fi para i = 2 . . . 100 y queda
igual a:
1
1
0

99
x det 

0


11
00
10
.
.
.

···
···
···
..
.

11
1
0 0 2/x
0 0 2/x
.
.
.

000
000

···
···

10
01






.

0 0 · · · 0 0 2/x 

2/x
2/x

Se realizan las operaciones F1 → F1 − Fi para i = 2. . . 100 y queda igual a:
0
1
0

99
x det 

0


0 0 ···
0 0 ···
1 0 ···
.
..
.
.
.
0 0 ···
0 0 0 ···
0 0 0 ···

0
0
0

0 1 − 99(2/x)
0
2/x
0
2/x
.
.
.

0
1
0

0
0
1






.

2/x 

2/x
2/x

Por cofactores en la primera fila queda igual a: x99 · (−1) · (1 − 99(2/x)).
3

4.

a ) Sean A y B matrices sim´tricas, tal que A espositiva definida y B es negativa
e
definida. Demuestre que BAB es sim´trica positiva definida.
e
Soluci´n:
o
Dado que A y B son sim´tricas, (BAB )t = B t At B t = BAB , luego BAB es
e
sim´trica.
e
Dado que B es negativa definida, se tiene que B es invertible, luego x ̸= ⃗ ↔
0
⃗
Bx = y ̸= 0.
Entonces xt BABx = (Bx)t A(Bx) = y t Ay > 0 para x ̸= 0, pues A es positiva
definida. Luego...