dielectrico con carga
Se tiene la configuraci´n de la figura 1, donde el cilindro interior, de radio
o
a es un conductor, rodeado de dos c´scaras diel´ctricas de radios b y c y con
a
e
permitividades 1 y 2, y finalmente por una c´scara conductora de radio exterior
a
d. El conductor interior tiene una carga Q1 y el exterior una carga Q2 . La
longitud de los cilindros es L >> d. Se pide calcular:
Lasdensidades, en volumen y superficie, de carga libre
Las densidades, en volumen y superficie, de carga de polarizaci´n.
o
El campo el´ctrico en todo el espacio
e
El potencial electrost´tico en todoel espacio.
a
Figura 1:
Calculamos primero las densidades de carga libre. La carga libre se encuentra
en los conductores (nada en el enunciado del problema nos indica la existencia
de cargalibre en los diel´ctricos), de modo que solo tendremos densidades sue
perficiales de carga. En el conductor interior la carga total es Q1 , de manera
que la densidad de carga libre en la superficie deradio a ser´
a
σa =
Q1
2πaL
En la c´scara conductora el campo el´ctrico es nulo. Entonces, tomando,
a
e
en la c´scara conductora, una superficie de Gauss cil´
a
ındrica conc´ntrica con lose
cilindros de la configuraci´n se tendr´
o
a
E.ds =
Qenc
0
1
o bien
0=
Qa + Qc
=⇒ Qc = −Qa = −Q1
0
Obteniendo luego
σc = −
Q1
2πcL
En la c´scara conductora lacarga es
a
Q2 = Qc + Qd
De donde
Qd = Q2 − Qc = Q2 + Q1
de forma que en la superficie exterior se tiene la densidad de carga
σd =
Q1 + Q2
2πdL
Ya est´n calculadas las densidades de cargalibre.
a
Calculamos ahora el campo el´ctrico. En todos los casos, al usar superficies de
e
Gauss, estas ser´n cil´
a
ındricas, conc´ntricas con el resto de los cilindros, y de
e
longitud L d:planteando el teorema de Gauss
E.ds =
Qenc
=⇒ E(ρ)2πL ρ =
σa 2πaL + σb 2πbL + σc 2πcL
0
0
=
Q1 L
Q1 L
(Q1 + Q2 )L
+
−
0L
0L
0L
de donde
E(ρ) =
Q1 + Q2
2 0 πLρ
D(ρ)...
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