Dinamica poblacional

Capítulo 4

Dinámica poblacional
Conceptos clave:
Características generales de los modelos matemáticos de dinámica poblacional
Modelos discretos y continuos de crecimiento exponencial
Modelos discretos y continuos de crecimiento logístico (densodependiente)
Modificaciones al modelo logístico: modelo θ-logístico, modelos con tiempo de retardo,
modelos probabilísticos, modelos matriciales4.1.

Introducción

El capítulo anterior consistió en una breve introducción a conceptos demográficos básicos. En este
capítulo aplicaremos algunos de esos conceptos para el estudio de la dinámica poblacional. Partiremos del modelos básico de dinámica poblacional presentado en el capítulo anterior. [Dar resumen de
contenidos de este capítulo.]
En el capítulo anterior vimos que la densidadpoblacional está determinada por cuatro procesos
demográficos básicos—natalidad, mortalidad, inmigración y emigración—resumidos en la siguiente
ecuación: Densidadt+1 = Densidadt + Natalidad – Mortalidad + Inmigración – Emigración. En este
capítulo tomaremos esta ecuación básica para presentar modelos de dinámica poblacional. Para esto
es útil transformar este modelo en uno con notaciónmatemática. Para esto definimos Nt como la
densidad de la población en un tiempo t, y Bt , Dt , It y Et como el número de individuos nacidos,
muertos, inmigrantes y emigrantes en ese intervalo. De este modo, podemos describir la ecuación de
arriba como
Nt+1 = Nt + Bt − Dt + It − Et .

(4.1)

Esta es la ecuación básica de dinámica poblacional, y todos los modelos que veremos en el resto del
capítuloy en lo subsiguientes son variaciones de este modelo básico. La ecuación nos dice cómo cambia
el número de individuos en la población en función del número de nacimientos, muertes, inmigraciones
y emigraciones. Una forma alternativa de pensar en esta ecuación es refiriéndonos siempre al número de
individuos en la población, definiendo tasas de nacimiento b, mortalidad d, inmigración i yemigración
e. De este modo, podemos reescribir la ecuación 4.1 como
Nt+1 = Nt + bNt − dNt + iNt − eNt ,

(4.2)

Nt+1 = Nt + Nt (b − d + i − e),

(4.3)

Nt+1 = Nt (1 + b − d + i − e).

(4.4)

o, rearreglando,

que es equivalente a

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La ecuación 4.4 nos dice que la densidad de la población en el tiempo t + 1 depende de la densidad
en el tiempo t multiplicado por una tasa decrecimiento poblacional que depende de las tasas de
nacimientos, muertes, inmigraciones y emigraciones. Como veremos en la sección siguiente, cuando
estas tasas son constantes podemos resumirlas en un único parámetro, λ = 1 + b − d + i − e, la
tasa finita de crecimiento poblacional, llevando a un crecimiento exponencial o geométrico en el que
la población crece con la misma tasa indendientemente de sudensidad. Sin embargo, este tipo de
crecimiento es poco realista, ya que en algún momento el espacio o el alimento se vuelven limitados, y
veremos también como podemos modificar este modelo básico para que la tasa de crecimiento dependa
de la densidad

4.2.

Crecimiento independiente de la densidad

Como mencionamos más arriba, cuando las tasas de natalidad, mortalidad, inmigración yemigración son constantes, la población crecerá exponencialmente. En el caso de una población con generaciones que no se superponen, podemos usar un modelo discreto basado en una relación de recurrencia
entre las densidades de la población en distintos momentos, de modo que la densidad de la población
en un tiempo t se utiliza para calcular la densidad de un tiempo subsiguiente t + 1,
Nt+1 = λNt .(4.5)

En este modelo, la tasa de crecimiento per capita (i.e., Nt+1 /Nt ) se mantiene constante, de modo
que la capacidad de cada individuo de reproducirse es independiente de la densidad (Fig. 4.1, panel
derecho). Como el número de individuos en la población aumenta, esto lleva a que la tasa de crecimiento
poblacional se acelere (Fig. 4.1, panel izquierdo).

Figura 4.1: Trayectoria...