Dinamica social

2.1 Definición de Integral indefinida
El campo vectorial definido asignando a cada punto (x, y) un vector que tiene por pendiente ƒ(x) = (x3/3)-(x2/2)-x. Se muestran tres de las infinitas primitivas de ƒ(x) que se pueden obtener variando la constante de integración C.
En cálculo infinitesimal, la función primitiva o anti derivada de una función f es una función F cuya derivada es f, esdecir, F ′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí en una constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Comoconsecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
   O   
El proceso de hallar la primitiva de una función se conoce como integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a travésdel teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.
Una primitiva de la función  en  es la función  ya que:

Dado que la derivada de una constante es cero, tendremos que cos(x) tendrá un número infinito de primitivas tales como sin(x), sin(x) + 5, sin(x) - 100, etc. Es más, cualquier primitiva de la función f(x) = cos(x) seráde la forma sin(x) + C donde C es una constante conocida como constante de integración.
Constante de integración
La derivada de cualquier función constante es cero. Una vez que se ha encontrado una primitiva F, si se le suma o resta una constante C, se obtiene otra primitiva. Esto ocurre porque (F + C) ' = F ' + C ' = F ' + 0 = F’. La constante es una manera de expresar que cada función tiene unnúmero infinito de primitivas diferentes.

2.2 Propiedades de integrales indefinidas
Linealidad de la integral indefinida
La primitiva es lineal, es decir:
1. Si f es una función que admite una primitiva F sobre un intervalo I, entonces para todo real k, una primitiva de kf sobre el intervalo I es kF.
2. Si F y G son primitivas respectivas de dos funciones f y g, entonces una primitivade f + g es F + G.
La linealidad se puede expresar como sigue:
La primitiva de una función impar es siempre par
En efecto, como se ve en la figura siguiente, las áreas antes y después de cero son opuestas, lo que implica que la integral entre -a y a es nula, lo que se escribe así: F(a) - F (-a) = 0, F siendo una primitiva de f, impar. Por lo tanto siempre tenemos F (-a) = F(a): F es par.


Laprimitiva F de una función f par es impar con tal de imponerse F (0) = 0
En efecto, según la figura, las áreas antes y después de cero son iguales, lo que se escribe con la siguiente igualdad de integrales:

Es decir F (0) - F (- a) = F(a) - F (0). Si F (0) = 0, F (- a) = - F(a): F es impar.


La primitiva de una función periódica es la suma de una función lineal y de una función periódicaPara probarlo, hay que constatar que el área bajo una curva de una función periódica, entre las abscisas x y x + T (T es el período) es constante es decir no depende de x. La figura siguiente muestra tres áreas iguales. Se puede mostrar utilizando la periodicidad y la relación de Chasles, o sencillamente ¡con unas tijeras! (cortando y superponiendo las áreas de color).
En término de primitiva,significa que F(x + T) - F(x) es una constante, que se puede llamar A. Entonces la función G(x) = F(x) - Ax/T es periódica de período T. En efecto G(x + T) = F(x + T) - A(x + T)/T = F(x) + A - Ax/T - AT/T = F(x) - Ax/T = G(x). Por consiguiente F(x) = G(x) + Ax/T es la suma de G, periódica, y de Ax/T, lineal.

Y por último, una relación entre la integral de una función y la de su recíproca....