Discrimiante

ANÁLISIS MULTIVARIADO II

LIC. NEL QUEZADA LUCIO

ANÁLISIS DISCRIMINANTE (Clasificación)
Un conjunto de elementos que pueden venir de dos o más poblaciones
distintas. En cada elemento se ha observado una variable aleatoria
p−dimensional x, cuya distribución se conoce en las poblaciones
consideradas. Se desea clasificar un nuevo elemento, con valores de las
variables conocidas, en una delas poblaciones.
El problema de discriminación aparece en muchas situaciones en que
necesitamos clasificar elementos con información incompleta. En otros
casos la información podría estar disponible, pero puede requerir destruir
el elemento. Finalmente, en otros casos la información puede ser muy
costosa de adquirir. Las técnicas que vamos a estudiar reciben también el
nombre declasificación supervisada.
Ejemplo 1.- Los sistemas automáticos de concesión de créditos implantados
en instituciones financieras tienen que utilizar variables (ingresos,
antigüedad en el trabajo, patrimonio, etc) para prever el comportamiento
futuro.

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Ejemplo 2.- En reconocimiento de patrones para diseñar máquinas
capaces de clasificar de maneraautomática. Como, reconocer voces y
sonidos, clasificar billetes o monedas, reconocer caracteres escritos en
una pantalla de ordenador o clasificar cartas según el distrito postal.
Ejemplo 3.- Asignar un texto escrito de procedencia desconocida a uno de
varios autores por las frecuencias de utilización de palabras, asignar una
partitura musical o un cuadro a un artista, una declaración deimpuestos
como potencialmente defraudadora o no, un paciente como enfermo de
cáncer o no, un nuevo método de fabricación como eficaz o no.
Análisis discriminante clásico debido a Fisher, basado en la normalidad
multivariante de las variables y que es óptimo bajo dicho supuesto. Si
todas las variables son continuas, es frecuente que aunque los datos
originales no sean normales es posibletransformar las variables para que
lo sean, y los métodos pueden aplicarse a las variables transformadas.
Cando se tiene variables discretas y continuas para clasificar, la hipótesis
de normalidad multivariante es poco realista, Entonces necesitamos otros
técnicas que pueden funcionar mejor en estos casos.

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CLASIFICACIÓN ENTRE DOS POBLACIONESPlanteamiento del Problema
P1 y P2 dos poblaciones, x es una variable aleatoria vectorial, p-variante (x
absolutamente continua). Las funciones de densidad de ambas poblaciones,
f1 y f2, son conocidas. Vamos a clasificar un nuevo elemento, x0 conocido, en
una de estas poblaciones. Si conocemos las probabilidades a priori π1, π2,
con π1+π2=1, de que el elemento venga de una de las dospoblaciones, su
distribución de probabilidad será.
y una vez observado x0 podemos calcular las probabilidades a posteriori de
que el elemento haya sido generado por cada una de las dos poblaciones,
P(i/x0), con i=1,2. Por el teorema de Bayes.
y como P(x0|1) = f1(x0)Δx0, tenemos que

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y para la segunda población

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Clasificaremos x0 en la poblaciónmás probable a posteriori. Como los
denominadores son iguales, clasificaremos x0 en P2 si:
Si las probabilidades a priori son iguales, la condición de clasificar en P2 se
reduce a:

es decir, clasificamos a x0 en la población más probable, o donde su
verosimilitud es más alta.

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Coste de Clasificación (consecuencias)
Si una máquinaclasifica equivocadamente un billete de 10 euros como de
20, y devuelve el cambio equivocado, el coste de clasificación es de 10
euros. En otros casos estimar el coste puede ser más complejo.
Supondremos que las posibles decisiones en el problema son únicamente
dos: asignar en P1 o en P2. Una regla de decisión es una partición del
espacio muestral Ex (Rp) en dos regiones A1 y A2=Ex−A1, tales...