DISTRIBUC

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD BINOMIAL

La distribución de probabilidad binomial está relacionada con un experimento de pasos múltiples al que se le llama experimento binomial.
Un experimento binomial tiene las cuatro propiedades siguientes:
1. El experimento consiste en una serie de n ensayos idénticos.
2. En cada ensayo hay dos resultados posibles. A uno de estos re sultados se le llama éxito yal otro se le llama fracaso.
3. La probabilidad de éxito, que se denota “p”, no cambia de un ensayo a otro. La probabilidad de fracaso, que se denota 1- "p”, tampoco cambia de un ensayo a otro.
4. Los ensayos son independientes.
Si se presentan las propiedades 2, 3 y 4, se dice que los ensayos son generados por un proceso de Bernoulli. Cada ensayo se denomina ensayo Bernoulli. Si, además sepresenta la propiedad 1, se trata de un experimento binomial.
Si “x” denota el número de éxitos en “n” ensayos, entonces x: 0,4, 2, 3,..., n., luego x es una variable aleatoria discreta. A la distribución de probabilidad correspondiente a esta variable aleatoria se le llama distribución de probabilidad binomial.
Ejemplo 1: Considere a un vendedor de seguros que visita a 10 familias elegidas en formaaleatoria. El resultado correspondiente de la visita a cada familia se clasifica como éxito si la familia compra un seguro y como fracaso si la familia no compra ningún seguro. Por experiencia, el vendedor sabe que la probabilidad de que una familia elegida aleatoriamente compre un seguro es 0.10.
Al revisar las propiedades de un experimento binomial aparece que:
1. E1 experimento consiste en 10ensayos idénticos; cada ensayo consiste en visitar a una familia.
2. En cada ensayo hay dos resultados posibles: la familia compra un seguro (éxito) o la familia no compra ningún seguro (fracaso).
3. Las probabilidades de que haya compra y de que no haya compra se supone que son iguales en todas las visitas, siendo p= 0.10 y l-p= 0.90.
4. Los ensayos son independientes porque las familias se eligenen forma aleatoria.


Función de Probabilidad Binomial:
Si se tienen “n” ensayos Bernoulli con probabilidad de éxito “p” y de fracaso q=1- p, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la distribución de probabilidad binomial y su función de probabilidad es: P(X=x) =f(x) = px q (n-x). Los valores de x: 0,1,2,..., n.
Los parámetros de la distribución binomial son “n” y “p”.Notación: X es b(n, p). La expresión f(x), es la probabilidad de x éxitos en n ensayos; p: probabilidad de un éxito en cualquiera de los ensayos. Además
Ejemplo 2. Considere las decisiones de compra de los próximos tres clientes que llegan a una tienda de ropa. De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30 ¿Cuál es laprobabilidad de que dos de los próximos tres clientes realicen una compra?
Solución:
X: número de clientes que realizan una compra
X es b (3; 0.3); luego usando la tabla de la distribución binomial de términos individuales, se tiene: P(X= 2) = 0.189
Además:
X
0
1
2
3
P(X=x)
0.343
0.441
0.189
0.027

Ejemplo 3. La distribución de probabilidades de una variable aleatoria binomial, si n=10 y p=0.2 es:
X
0
12
3
4
5
6
7
8
9
10
Prob
0.107
0.268
0.302
0.201
0.088
0.026
0.006
0.001
0.000
0.000
0.000

Ejemplo 4. La distribución de probabilidades de una variable aleatoria binomial, si n=10 y p=0.5 es:
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Prob
0.001
0.010
0.044
0.117
0.205
0.246
0.205
0.117
0.044
0.010
0.001

Ejemplo 5. La distribución de probabilidades de una variable aleatoria binomial, si n=10 y p=0.8 es:

Nota.
SiX es b(n, p) y el valor de p no se encuentra en la tabla: Para hallar P(X=k),
X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Prob
0.000
0.000
0.000
0.001
0.006
0.026
0.088
0.201
0.302
0.268
0.107

Valor Esperado y Varianza Matemática en la Distribución Binomial
E(x) = = np Var(x) = 2 = n p q Desviación Estándar:

Ejemplo 6. Un gerente estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30. Si se...