Divergencia

El teorema de la divergencia
El teorema de la divergencia, conocido también como el Teorema de Gauss, establece una forma analítica del cálculo de la integral de un campo vectorial sobre una superficie como una simple integral de volumen, y lo define mediante esta fórmula: |
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donde S es una superficie cerrada la cual delimita al volumen V, F es un campo vectorial arbitrario, yes, como siempre, el vector unitario perpendicular a S. De momento podemos pensar que que el flujo de F a través de la superficie S es igual a la divergencia de F tomada a través del volumen V. |
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La divergencia de F = x3 i + y3 j + z3 k es |
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de modo que debemos calcular la integral |
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Puesto que el volumen V corresponde al interior de una esfera, centrada en elorigen, de radio a parece natural hacer cambio de variable y utilizar las coordenadas esféricas, esto es |
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donde el dominio de las variables (, , ) es |
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y además |
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De modo que obtenemos la siguiente integral |
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puesto que x2 + y2 + z2 =  2. Efectuando los cálculos, nos queda |
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Teorema de Stokes
El teorema de Stokes nos dice que se puede expresar unaintegral sobre una superficie abierta del rotacional de un vector escalar el diferencial de superficie es igual a la integral cerrada de línea sobre el vector A que limita a esa superficie.
El teorema de Stokes nos sirve más que todo para calcular el rotacional del vector A no tiene un buen comportamiento y también para trasformar una integral de superficie de un rotacional en una de línea del vector.Dado el vector       calcular  para
 

Por lo tanto  
 
Por lo tanto el rotacional de A en el origen va a ser del tipo impulsiva y su valor va a ser
 
En el caso que se quiera demostrar el teorema de Stokes se debe agarrar y resolver los dos lados de la ecuación y quedara demostrado que le integral de superficial de un campo rotacional va a ser igual a la integral de línea cerrada dela superficie del vector. Como podemos observar en este ejemplo:

Verificar el teorema de Stokes si F = (x, y, z) y S es la superficie z = x ² + y ², z ≤ 1.

Parametrizamos la superficie S1:
X(u,v) = (u, v, 0), u ² + v ² ≤ 1
Calculamos n:
Xu = (1,0,0)
Xv = (0,1,0)
n = Xu Ù Xv = | E1 | -E2 | E3 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
n = (0,0,1)
n apunta hacia z > 0.
Hallamos el rotF:rot F = | E1 | -E2 | E3 |
| ∂/∂x | ∂/∂y | ∂/∂z |
| x | y | z |
rot F = (∂y/∂y - ∂x/∂z,- ∂y/∂x + ∂z/∂z, ∂x/∂x + ∂z/∂y) = (1 - 0,-0 + 1,1 - 0)
rot F = (1,1,1)
Planteamos la integral del segundo miembro:
∫∫SC rot F.dS = ∫∫S1 rot F.dS = ∫∫D (1,1,1).(0,0,1).du.dv = ∫∫D du.dv
Pasando a sistema de coordenadas polares:
u = r.cos θv = r.sen θ | ® |J| = r ® | 0 ≤ r ≤ 10 ≤ θ ≤ 2.π |
∫∫D du.dv= ∫∫D´ r.dr.dθ

Para el primer miembro parametrizamos la frontera de S1, es decir ∂S:
C = (cos t, sin t, 1), 0 ≤ t ≤ 2.π
Preparamos las partes de la integral:
C´ = (-sin t, cos t, 0)
F(C (t)) = (1, cos t, sin t)
Planteamos la integral del primer miembro:

Derivada de funciones vectoriales
La derivada de funciones vectoriales se define de la misma manera como la conocemos para funcionesde variable y valor real. Así:
F( a ) lim
ta
F( t a ) F( a )
t (2.2.2)
Cómo se indica en la figura, el vector F( a ) es el vector dirección de la recta tangente a la curva
definida por F y que pasa por el punto F( a ). Si pensamos que F( t ) determina el desplazamiento de
una particula en el espacio Rn a medida que el tiempo t transcurre, entonces F( a ) mide la velocidad
deldesplazamiento.
http://www.virtual.unal.edu.co/cursos/ciencias/2001008/lecciones/cap02/02_02_01.texPage 3 of 7
Figura No. 1
Es muy fácil deducir de (2.2.1) y (2.2.2) que
F( a ) ( f 1

( a ), ..., f n

( a ) ) ( 2.2.3 )
La derivación de funciones vectoriales satisface las siguientes propiedades:
1. ( F G )FG.
2. ( u.F ) u.F u.F, con u :RR.
3. F, G F, G F,...