Divisores

Problema 1 Demostrar que para cualquier n´mero natural N, el n´mero
u
u
de divisores de la forma 4k + 1 es mayor o igual que el n´mero de divisores
u
de la forma 4k + 3.
1.Expresamos N en la forma N = 2e N1 N3 siendo N1 = pe1 . . . per y N3 =
1
r
f
f
q11 . . . qs s , y siendo pi primos de la forma 4k + 1 y qj primos de la forma
4k + 3.
2. Los divisoresimpares de N se obtienen al multiplicar los divisores de N1
por los divisores de N3. Todos los divisores de N1 son de la forma 4k + 1. Si
definimos
d(N) = n´mero de divisiores impares de N,u
d1 (N) = n´mero de divisiores de N de la forma 4k + 1,
u
d3 (N) = n´mero de divisiores de N de la forma 4k + 3,
u
∆(N) = d1 (N) − d3 (N),
tenemos que
d1 (N) = d1 (N1 N3 ) =d(N1 )d1 (N3 ),
(1)
d3 (N) = d3 (N1 N3 ) = d(N1 )d3 (N3 ).
3. Sea ahora q un n´mero primo de la forma 4k + 3.
u
El n´mero q 2f tiene f + 1 divisores q 0, q 2, . . . , q 2f de la forma4k + 1
u
mientras que tiene f divisiores q 1, . . . , q 2f −1 de la forma 4k + 3, por tanto,
∆(q 2f ) = 1 > 0.
El n´mero q 2f +1 tiene f + 1 divisores q 0, q 2, . . . , q 2f de laforma 4k + 1
u
y tambi´n tiene f + 1 divisiores q 1, . . . , q 2f +1 de la forma 4k + 3, por tanto,
e
∆(q 2f ) = 0.
En consecuencia ∆(q f ) 0 para cualquier f.
4. Sean a y b dos n´merosprimos relativos que s´lo tienen factores primos
u
o
de la forma 4k + 3. Los divisores del producto ab se obtienen multiplicando
los divisores de a por los de b. Teniendo en cuentala tabla de multiplicar
m´dulo 4, tenemos las relaciones
o
d1 (ab) = d1 (a)d1(b) + d3 (a)d3 (b),
d3 (ab) = d1 (a)d3(b) + d3 (a)d1 (b),
de donde d1 (ab) − d3 (ab) = (d1 (a) − d3(a))(d1 (b) − d3 (b)), es decir se cumple
que ∆(ab) = ∆(a)∆(b).
5. Teniendo en cuenta (1),
f
f
f
f
∆(N) = d(N)∆(N3 ) = d(N)∆(q11 · · · qs s ) = d(N)∆(q11 ) · · · ∆(qs s )

0.