Dossier Tema 1 Nombres Reals
Páginas: 12 (2786 palabras)
Publicado: 25 de septiembre de 2015
TEMA 1 - NOMBRES REALS
El conjunt dels nombres naturals
Els nombres naturals sorgeixen de la necessitat de comptar o d'ordenar. Aquest conjunt es simbolitza amb la lletra N
N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Amb aquest conjunt podem sumar i multiplicar.
El conjunt dels nombres enters
Per representar el resultat de qualsevol resta cal ampliar el conjunt N amb un nou conjunt de nombres : elsnombres enters.
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... }
Es representen sobre una recta on tenim col·locats els nombres naturals. Fem correspondre el nombre 0 amb l'extrem A del segment AB.
Traslladant cap a l'esquerra AB obtindrem els nombres enters -1, -2, -3, ...allà on es situa l'extrem A.
Amb aquest conjunt podem sumar, restar i multiplicar.
El conjunt dels nombres racionals
En elconjunt dels nombres enters la divisió no sempre és possible. Cal ampliar el conjunt dels nombres enters al conjunt dels nombres racionals. Simbolitzem aquest conjunt amb la lletra Q.
Un nombre racional està format per una fracció ( divisió indicada de dos enters ) i les seves fraccions equivalents. Cadascuna d'aquestes fraccions equivalents és un representant del nombre racional. La fraccióirreductible de denominador positiu és el representant canònic del nombre racional.
Exemple:
nombre racional
representants
representant canònic
Els nombres racionals també es poden representar mitjançant punts sobre una recta. Donat un nombre racional aquest pot ser:
més petit que 1, per exemple, , es divideix el segment unitat en 5 parts ( aplicant el teorema de Tales ) i triem 3 d'aquestes.més gran que 1, per exemple, , en aquests cas fem primer la divisió: 7 3
1 2
per tant 7 = 3 · 2 + 1, = = 2 +. Per representar es prenen dues unitats i es divideix la unitat següent en tres parts i d'aquestes se'n pren una.
Tot nombre racional es pot expressar en forma decimal. S'obté dividint el numerador pel denominador.
Les diverses situacions que es poden donar quan transformem unafracció en nombre decimal són:
a. divisió exacta: el numerador és múltiple del denominador, es tracta d'un nombre enter. Exemple: = 4
b. decimal exacte: després d'uns quants decimals la divisió s'acaba. Exemple: = 2,425
c. decimal periòdic pur: després de la coma decimal apareix una xifra o un grup de xifres que es repeteix indefinidament. Exemple: = 1,185185185...
d. decimal periòdic mixt:després de la coma decimal i d'algunes altres xifres apareix un dígit o un grup de dígits que es repeteix indefinidament. Exemple: =0,8636363...
De la mateixa manera, qualsevol nombre decimal periòdic o exacte admet una representació com a fracció, és a dir, com a nombre racional. Es tracta de trobar la fracció generatriu.
decimal exacte
fracció generatriu
0,0012
=
decimal periòdic pur
fracciógeneratriu
7,333333333333...
= =
decimal periòdic mixt
fracció generatriu
2,3454545454545...
= =
El conjunt dels nombres irracionals
Es pot demostrar que existeixen nombres que no es poden escriure en forma de fracció ( per exemple, ). Aquests nombres decimals d'infinites xifres que no formen període són anomenats nombres irracionals.
Exemple:
0,101001000100001 ...
= 1,414213562...nombre d'or = = 1,618033989...
= 3,141592654...
Els nombres irracionals també es representen sobre una recta. Si són irracionals donats per un nombre quadràtic n'hi ha prou amb construir un triangle rectangle la hipotenusa del qual tingui com a longitud aquest radical.
Exemple:
En cas de no ser un radical quadràtic, el nombre irracional es pot representar de forma aproximada, situant-lo enintervals successius de forma que el nou interval està contingut en l'anterior. A més intervals, més precisió. És el mètode dels intervals encaixats.
El conjunt dels nombres reals
El conjunt de tots els nombres siguin racionals o siguin irracionals s'anomena conjunt dels nombres reals i s'acostuma a indicar amb R.
La classificació dels nombres la podem resumir en l'esquema següent:
Nombres...
El conjunt dels nombres naturals
Els nombres naturals sorgeixen de la necessitat de comptar o d'ordenar. Aquest conjunt es simbolitza amb la lletra N
N = { 1, 2, 3, 4, 5, ... }
Amb aquest conjunt podem sumar i multiplicar.
El conjunt dels nombres enters
Per representar el resultat de qualsevol resta cal ampliar el conjunt N amb un nou conjunt de nombres : elsnombres enters.
Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, .... }
Es representen sobre una recta on tenim col·locats els nombres naturals. Fem correspondre el nombre 0 amb l'extrem A del segment AB.
Traslladant cap a l'esquerra AB obtindrem els nombres enters -1, -2, -3, ...allà on es situa l'extrem A.
Amb aquest conjunt podem sumar, restar i multiplicar.
El conjunt dels nombres racionals
En elconjunt dels nombres enters la divisió no sempre és possible. Cal ampliar el conjunt dels nombres enters al conjunt dels nombres racionals. Simbolitzem aquest conjunt amb la lletra Q.
Un nombre racional està format per una fracció ( divisió indicada de dos enters ) i les seves fraccions equivalents. Cadascuna d'aquestes fraccions equivalents és un representant del nombre racional. La fraccióirreductible de denominador positiu és el representant canònic del nombre racional.
Exemple:
nombre racional
representants
representant canònic
Els nombres racionals també es poden representar mitjançant punts sobre una recta. Donat un nombre racional aquest pot ser:
més petit que 1, per exemple, , es divideix el segment unitat en 5 parts ( aplicant el teorema de Tales ) i triem 3 d'aquestes.més gran que 1, per exemple, , en aquests cas fem primer la divisió: 7 3
1 2
per tant 7 = 3 · 2 + 1, = = 2 +. Per representar es prenen dues unitats i es divideix la unitat següent en tres parts i d'aquestes se'n pren una.
Tot nombre racional es pot expressar en forma decimal. S'obté dividint el numerador pel denominador.
Les diverses situacions que es poden donar quan transformem unafracció en nombre decimal són:
a. divisió exacta: el numerador és múltiple del denominador, es tracta d'un nombre enter. Exemple: = 4
b. decimal exacte: després d'uns quants decimals la divisió s'acaba. Exemple: = 2,425
c. decimal periòdic pur: després de la coma decimal apareix una xifra o un grup de xifres que es repeteix indefinidament. Exemple: = 1,185185185...
d. decimal periòdic mixt:després de la coma decimal i d'algunes altres xifres apareix un dígit o un grup de dígits que es repeteix indefinidament. Exemple: =0,8636363...
De la mateixa manera, qualsevol nombre decimal periòdic o exacte admet una representació com a fracció, és a dir, com a nombre racional. Es tracta de trobar la fracció generatriu.
decimal exacte
fracció generatriu
0,0012
=
decimal periòdic pur
fracciógeneratriu
7,333333333333...
= =
decimal periòdic mixt
fracció generatriu
2,3454545454545...
= =
El conjunt dels nombres irracionals
Es pot demostrar que existeixen nombres que no es poden escriure en forma de fracció ( per exemple, ). Aquests nombres decimals d'infinites xifres que no formen període són anomenats nombres irracionals.
Exemple:
0,101001000100001 ...
= 1,414213562...nombre d'or = = 1,618033989...
= 3,141592654...
Els nombres irracionals també es representen sobre una recta. Si són irracionals donats per un nombre quadràtic n'hi ha prou amb construir un triangle rectangle la hipotenusa del qual tingui com a longitud aquest radical.
Exemple:
En cas de no ser un radical quadràtic, el nombre irracional es pot representar de forma aproximada, situant-lo enintervals successius de forma que el nou interval està contingut en l'anterior. A més intervals, més precisió. És el mètode dels intervals encaixats.
El conjunt dels nombres reals
El conjunt de tots els nombres siguin racionals o siguin irracionals s'anomena conjunt dels nombres reals i s'acostuma a indicar amb R.
La classificació dels nombres la podem resumir en l'esquema següent:
Nombres...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.