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Páginas: 67 (16593 palabras)
Publicado: 28 de febrero de 2013
Cap´tulo ı
2
ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
2.1. INTRODUCCIÓN
Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es una expresión que relaciona una
variable dependiente: y y sus derivadas de cualquier orden con respecto a una variable independiente x, así: f x, y(x), Dy(x), D2 y(x), . . . , Dn y(x) = r(x) En donde Dy(x), D2 y(x), . . . , Dn y(x) son las derivadas deorden 1, 2, . . . , n de la función y(x). Por analogía con las ecuaciones diferenciales de primer orden, una solución general de la ecuación diferencial es una familia de curvas del plano que contiene n constantes arbitrarias, así: F (x, y, C1 , C2 , . . . , Cn ) Son ejemplos de ecuaciones diferenciales de orden superior, las siguientes: 1. y (x) − xy(x) = 0 2. a2 y (t) + a1 y (t) + a0 y(t)= f (t) 3. y (t) + 4 sin(y(t)) = 0 4. x3 y (x) + αx2 y (x) + βxy (x) + γy(x) = f (x) 5. x2 y (x) + xy (x) + (x2 − γ 2 )y(x) = 0 De las ecuaciones mostradas, la tercera es no lineal y el resto son lineales. La segunda ecuación es de coeficientes constantes y recibe el nombre de ecuación de oscilaciones. 135
136
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Laprimera ecuación es la ecuación de Airy1 . La cuarta es la ecuación diferencial de Euler2 de tercer orden y la última es la ecuación diferencial de Bessel3 . Nuestro interés se concentrará en desarrollar métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, particularmente las lineales.
Primitiva de una ecuación diferencial
En el capítulo 1 se estableció que la primitiva de unaecuación diferencial de primer orden es una familia de curvas del plano de la forma F (x, y, C) = 0. De manera similar, una familia de curvas del plano F (x, y, C1 , C2 , . . . , Cn ) = 0, es la primitiva de una ecuación diferencial de orden n. La ecuación diferencial se obtiene derivando n veces y eliminando las constantes. Ejemplo: 2.1. constantes reales. Considere la familia de curvas del plano 2xy −a − bx = 0, con: a, b
1. Represente gráficamente los elementos correspondientes a: a) a = 1, b = 1 b) a = 3, b = −1 2. Encuentre la ecuación diferencial de la familia.
✞ ☎ Solución: ✆ ✝
3. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.
1. La figura 2.1 muestra las dos curvas de la familia. 2. Tomando la primera derivada, resulta: 2xy + 2y − b = 0 Derivando de nuevo, se tiene:2xy + 2y = 0
En consecuencia, la ecuación diferencial de la familia es: y +
1
2y =0 x
George Biddell Airy (1801-1892): Astrónomo y matemático inglés, reconocido por numerosos aportes en la astronomía. La solución de la ecuación de Airy o ecuación de Stokes es solución de la ecuación de Schrödinger para una partícula confinada dentro de un pozo potencial triangular y también parael movimiento unidimensional de una partícula cuántica afectada por una fuerza constante. 2 Remítase a la sección 5.2 3 Remítase a la sección 5.6.5
2.1. INTRODUCCIÓN
137
4 3 2 1
a =1, b =1
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4
1
2
3
4
a = 3 , b = -1
Figura 2.1: Elementos de la familia de curvas del ejemplo 2.1
3. La ecuación diferencial obtenida es de segundo ordenpero se puede resolver mediante las técnicas desarrolladas en el capítulo anterior, así: y = p ⇒ Integrando se obtiene: ln(p) = 2 ln(x) = ln(C1 ) ⇒ px2 = C1 Finalmente, regresando a la variable y e integrando, se obtiene que la solución general es: y = −C1 x−1 + C2 Claramente se observa que la solución hallada es equivalente a la familia dada inicialmente. Ejemplo: 2.2.
✞ ☎ Solución: ✆ Se ✝dp 2p dp 2dx + =0⇒ + =0 dx x p x
Encuentre la ecuación diferencial correspondiente a la siguiente primitiva: y = C1 e−x + C2 e−2x + x
deriva dos veces la expresión así: y = −C1 e−x − 2C2 e−2x + 1 y = C1 e−x + 4C2 e−2x
138
CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La ecuación original y la correspondiente a la primera derivada conforman un sistema de dos...
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ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
2.1. INTRODUCCIÓN
Una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es una expresión que relaciona una
variable dependiente: y y sus derivadas de cualquier orden con respecto a una variable independiente x, así: f x, y(x), Dy(x), D2 y(x), . . . , Dn y(x) = r(x) En donde Dy(x), D2 y(x), . . . , Dn y(x) son las derivadas deorden 1, 2, . . . , n de la función y(x). Por analogía con las ecuaciones diferenciales de primer orden, una solución general de la ecuación diferencial es una familia de curvas del plano que contiene n constantes arbitrarias, así: F (x, y, C1 , C2 , . . . , Cn ) Son ejemplos de ecuaciones diferenciales de orden superior, las siguientes: 1. y (x) − xy(x) = 0 2. a2 y (t) + a1 y (t) + a0 y(t)= f (t) 3. y (t) + 4 sin(y(t)) = 0 4. x3 y (x) + αx2 y (x) + βxy (x) + γy(x) = f (x) 5. x2 y (x) + xy (x) + (x2 − γ 2 )y(x) = 0 De las ecuaciones mostradas, la tercera es no lineal y el resto son lineales. La segunda ecuación es de coeficientes constantes y recibe el nombre de ecuación de oscilaciones. 135
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
Laprimera ecuación es la ecuación de Airy1 . La cuarta es la ecuación diferencial de Euler2 de tercer orden y la última es la ecuación diferencial de Bessel3 . Nuestro interés se concentrará en desarrollar métodos para resolver ecuaciones diferenciales de orden superior, particularmente las lineales.
Primitiva de una ecuación diferencial
En el capítulo 1 se estableció que la primitiva de unaecuación diferencial de primer orden es una familia de curvas del plano de la forma F (x, y, C) = 0. De manera similar, una familia de curvas del plano F (x, y, C1 , C2 , . . . , Cn ) = 0, es la primitiva de una ecuación diferencial de orden n. La ecuación diferencial se obtiene derivando n veces y eliminando las constantes. Ejemplo: 2.1. constantes reales. Considere la familia de curvas del plano 2xy −a − bx = 0, con: a, b
1. Represente gráficamente los elementos correspondientes a: a) a = 1, b = 1 b) a = 3, b = −1 2. Encuentre la ecuación diferencial de la familia.
✞ ☎ Solución: ✆ ✝
3. Encuentre la solución general de la ecuación diferencial.
1. La figura 2.1 muestra las dos curvas de la familia. 2. Tomando la primera derivada, resulta: 2xy + 2y − b = 0 Derivando de nuevo, se tiene:2xy + 2y = 0
En consecuencia, la ecuación diferencial de la familia es: y +
1
2y =0 x
George Biddell Airy (1801-1892): Astrónomo y matemático inglés, reconocido por numerosos aportes en la astronomía. La solución de la ecuación de Airy o ecuación de Stokes es solución de la ecuación de Schrödinger para una partícula confinada dentro de un pozo potencial triangular y también parael movimiento unidimensional de una partícula cuántica afectada por una fuerza constante. 2 Remítase a la sección 5.2 3 Remítase a la sección 5.6.5
2.1. INTRODUCCIÓN
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4 3 2 1
a =1, b =1
-4
-3
-2
-1 -1 -2 -3 -4
1
2
3
4
a = 3 , b = -1
Figura 2.1: Elementos de la familia de curvas del ejemplo 2.1
3. La ecuación diferencial obtenida es de segundo ordenpero se puede resolver mediante las técnicas desarrolladas en el capítulo anterior, así: y = p ⇒ Integrando se obtiene: ln(p) = 2 ln(x) = ln(C1 ) ⇒ px2 = C1 Finalmente, regresando a la variable y e integrando, se obtiene que la solución general es: y = −C1 x−1 + C2 Claramente se observa que la solución hallada es equivalente a la familia dada inicialmente. Ejemplo: 2.2.
✞ ☎ Solución: ✆ Se ✝dp 2p dp 2dx + =0⇒ + =0 dx x p x
Encuentre la ecuación diferencial correspondiente a la siguiente primitiva: y = C1 e−x + C2 e−2x + x
deriva dos veces la expresión así: y = −C1 e−x − 2C2 e−2x + 1 y = C1 e−x + 4C2 e−2x
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CAPÍTULO 2. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
La ecuación original y la correspondiente a la primera derivada conforman un sistema de dos...
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