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6.2.1. Circuito LC

Un circuito LC es simplemente el circuito que resulta al conectar un con- densador caracterizado por la capacidad C y una bobina caracterizada por la inductancia L, segu´n ilustra la figura 14 (del mismo modo que en los ejemplos mec´anicos consideramos una situacio´n “ideal”, con masas puntuales y muelles y cuerdas sin masa, suponemos aqu´ıcondensadores y bobinas ideales). El con- densador es esencialmente un dispositivo que acumula carga el´ectrica segu´n


Q
V = , C
Q

V = 0 V C

siendo C la mencionada capacidad del condensador, Q la carga el´ectrica acu- mulada y V la diferencia de potencial el´ectrico entre los dos extremos del con- densador (las “patas”). La bobina obedece la siguienteecuacio´n



dI
V = −L dt ,
I


V = 0 V L

donde L es la inductancia de la bobina, I es la intensidad de la corriente el´ectri- ca y V la diferencia de potencial el´ectrico entre los dos extremos de la bobina (las “patas”). Las constantes que definen el sistema son C y L; las magnitudes f´ısicas cuya evolucio´n queremos estudiar son V , I y Q. Ahora bien,ni son inde- pendientes ni van a desempen˜ar el mismo papel. La intensidad de la corriente el´ectrica, I , es la variaci´on de la carga el´ectrica,

dQ
I . dt

El potencial el´ectrico V (siendo precisos la diferencia de potencial el´ectrico) va a ser una cantidad auxiliar que nos permita obtener una ecuacio´n de evolu- ci´on (“de movimiento”) que describa el sistema.Observando la figura 14 vemos que, una vez conectados el condensador y la bobina, la diferencia de poten- cial el´ectrico entre los extremos de ambos es id´entica (se ha adoptado como referencia arbitraria V = 0 uno de los dos extremos). Tenemos entonces


V =

Es inmediato reescribir

Q dI C = −L dt

= −L
d2 Q
dt2

= −L Q¨ . (31)
Q¨ +1
L C
Q = 0 , (32)


la ecuacio´n de un oscilador arm´onico. Resumiendo, si en un circuito LC en equilibrio, i.e. sin carga el´ectrica (Q = 0) ni corriente (Q˙ = 0), se introduce una perturbaci´on – una cierta cantidad de carga Q(0) o una corriente Q˙ (0) –, la
carga Q(t) efectuar´a oscilaciones arm´onicas de frecuencia angular1
ω0 = √

. (33)








P´endulo simple

Adem´as de la masa puntual y el muelle que han poblado este tema desde el inicio, un ejemplo cl´asico de oscilador mec´anico es el p´endulo simple. En su versio´n ideal es una masa puntual m suspendida de un punto por una cuerda sin masa de longitud constante ℓ, restringidaa moverse en un plano y some-
tida a la acci´on de la gravedad ~g (g = |~g|); ninguna interaccio´n amortigua el
movimiento. El sistema tiene un u´nico grado de libertad; elegimos, buscando la m´axima simplicidad, el ´angulo θ que forma la cuerda con respecto a la di- reccio´n de ~g. El sistema tiene un equilibrio estable para θ = 0. Plantearemos las ecuaciones demovimiento siguiendo tres estrategias diferentes (el resultado ser´a por supuesto id´entico): (1) en t´erminos de una lagrangiana L y de las correspondientes ecuaciones de movimiento de Euler–Lagrange, (2) en t´erminos de las fuerzas presentes en el sistema y de la segunda ley de Newton, (3) en t´erminos del momento total de las fuerzas externas y la variaci´on del momento angular (enesencia, la aplicaci´on de (2) a un s´olido r´ıgido).
Observando la figura 12 escribimos la energ´ıa cin´etica T del p´endulo

T = 1 m (ℓ θ˙)2 . (25)
2

La energ´ıa potencial, tomando como referencia la correspondiente al equilibrio, es


Tenemos por tanto
V = m g ℓ (1 − cos θ) . (26)

L = T − V = 1...