Ecuaciones no lineales

Sistemas de Ecuaciones No Lineales
 
Objetivo de Aprendizaje
         Resolver sistemas de ecuaciones lineales, cuadráticas y otras funciones no lineales.
 
Introducción
 
Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones que comparten dos o más incógnitas. Las soluciones de un sistema de ecuaciones son todos los valores que son válidos para todas las ecuaciones, o lospuntos donde las gráficas de las ecuaciones se intersectan.
 
Podemos resolver un sistema de ecuaciones lineales graficando, por sustitución y por combinación lineal. Los sistemas de funciones no lineales, como ecuaciones cuadráticas o exponenciales, pueden ser manejados con las mismas técnicas.
 
Para ilustrar cómo resolver estos sistemas, nos vamos a concentrar en sistemas lineales y cuadráticoscon sólo dos ecuaciones. Pero ten en cuenta que hay sistemas que pueden ser más grandes y más complejos que estos ejemplos.
 
Sistemas de Ecuaciones Lineales y Cuadráticas
 
Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. La solución de este tipo de sistema es el punto de intersección entre las dos rectas, o el lugar donde las dos ecuaciones tienen los mismos valores de x y de y. Puedehaber más de una solución, no solución, o un número infinito de soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales:
 
Una solución
No hay solución
Soluciones infinitas



Si las gráficas de las ecuaciones se intersectan, entonces existe una solución para ambas ecuaciones.
 
Si las gráficas de dos ecuaciones no se intersectan (por ejemplo, si son paralelas), entonces no existen solucionespara ambas ecuaciones.
Si las gráficas de las ecuaciones son la misma, entonces hay un número infinito de soluciones para ambas ecuaciones.
 
 
Para resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática, podemos hacer lo mismo, encontrar el punto — o puntos — de intersección entre ambas gráficas:
 
Una solución
No hay solución
Dos soluciones



Si la parábola y la rectase tocan en un sólo punto, entonces existe una solución para ambas ecuaciones.
 
Si las gráficas de las ecuaciones no se intersectan, entonces no existen soluciones para ambas ecuaciones.
Si la recta se intersecta con la parábola en dos lugares, entonces hay dos soluciones para ambas ecuaciones.
 
No tiene sentido considerar el caso cuando las dos ecuaciones representan el mismo conjunto depuntos, porque una línea recta jamás será una parábola, y vice versa.
 
Nota que esto significa que el número posible de soluciones para un sistema de dos ecuaciones lineales es 0 (nunca se tocan), 1 (se cruzan en un lugar), o infinito (las rectas son idénticas). El número de soluciones para un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática es 0 (nunca se tocan), 1 (se tocan en unlugar), o 2 (se cruzan en dos lugares).
 
Vamos a resolver por medio de gráficas un sistema de una ecuación lineal y una ecuación cuadrática.
 
Ejemplos
Problema
Resolver el sistema graficando las ecuaciones
      y 
 
 

 
Graficar cada ecuación y localizar los puntos de intersección
Solución
Este sistema tiene dos soluciones, No podemos determinar la posición exacta de los puntos deintersección a partir de la gráfica, pero son aproximadamente (-2,0) y (5,22)
 
 
 
Nota que a pesar de que podemos saber aproximadamente donde se intersectan las gráficas, es difícil encontrar la posición exacta.
 
Ahora vamos a resolver el mismo sistema usando sustitución. Cuando resolvemos por sustitución, seguimos los siguientes pasos: 
 
1. Seleccionar una ecuación y despejar unavariable. (Escoger una ecuación y una variable que sea fácil de despejar).
2. Sustituir la expresión resultante por una variable en la otra ecuación, cada vez que esta variable aparezca.
3. Resolver la segunda variable en la segunda ecuación.
4. Sustituir la solución del paso 3 en la expresión del paso 1, para encontrar la otra variable.
 
Ejemplo
Problema
Resolver el sistema usando el método...