Ediferneciales

Manejo de las ecuaciones diferenciales
Consideremos ecuaciones diferenciales (ED) ordinarias y de primer orden. Partiremos de las formas m´s a sencillas para entender como pueden ser escritas y para ello tomaremos algunos ejemplos representativos Ejemplo 1 Consid´rese la funci´n constante: e o y(x) = c Su derivada con respecto a x da como resultado la siguiente ED dy =0 dx si consideramos elt´rmino del lado izquierdo como una fracci´n, entonces se tomar´ a dy como el e o a numerador y dx como el denominador. Por lo tanto puede multiplicarse la ecuaci´n completa por o el factor dx, cancelando el denominador. Esto es dy dx = 0 (1)

dy  ( dx) = 0 (dx)  dx  dy = 0 Es decir, (1) y (2) son formas equivalentes de la misma ecuaci´n diferencial. o Ejemplo 2 Si la funci´n es o y(x) = x suderivada con respecto a x da la siguiente ED dy =1 dx

(2)

y si nuevamente consideramos el t´rmino del lado izquierdo como una fracci´n, podemos multiplicar e o la ecuaci´n por el factor dx cancelando el denominador. Esto es o dy dx = 1 (3)

dy  ( dx) = 1 (dx)  dx  dy = dx

(4)

Es decir, (3) y (4) representan a la misma ecuaci´n diferencial. Otras formas equivalentes de esta oecuaci´n son las siguientes: o dy −1=0 dx dy − dx = 0 (Sumando −1 en la ec. 3) (Sumando −dx en la ec. 4)

Ejemplo 3 Si la funci´n es o y(x) = x2 su derivada con respecto a x da la siguiente ED dy = 2x dx

1

y si nuevamente consideramos el t´rmino del lado izquierdo como una fracci´n, podemos multiplicar e o la ecuaci´n por el factor dx cancelando el denominador. Esto es o dy dx = 2x (5)

dy ( dx) = 2x (dx)  dx  dy = 2x dx

(6)

Esto es, (5) y (6) representan a la misma ecuaci´n diferencial. Otras formas equivalentes de esta o ecuaci´n son las siguientes: o dy − 2x = 0 dx dy − 2xdx = 0 (Sumando −2x en la ec. 5) (Sumando −2xdx en la ec. 10)

Ejemplo 4 As´ un caso m´s general puede ser ı, a y(x) = xn donde n es un n´mero real y su derivada con respecto a x da la siguiente ED. udy = nxn−1 dx y si nuevamente consideramos el t´rmino del lado izquierdo como una fracci´n, podemos multiplicar e o la ecuaci´n por el factor dx cancelando el denominador. Esto es o dy dx = nxn−1 nxn−1 (dx) nxn−1 dx (8) (7)

dy  ( dx) =  dx  dy =

Y aqu´ tambi´n tanto (7) como (8) representan a la misma ecuaci´n diferencial. Otras formas ı e o equivalentes de esta ecuaci´n son lassiguientes: o dy − nxn−1 = 0 dx dy − nxn−1 dx = 0 (Sumando −nxn−1 en la ec. 7) (Sumando −nxn−1 dx en la ec. 8)

Ejercicios
Hallar la ecuaci´n diferencial para las siguientes funciones y mediante ´lgebra llevarla a la formas o a equivalentes que se presentan a la derecha: a. y(x) = 3 b. y(x) = 2x c. z(t) = −4 d. v(θ) = 4θ
3

Llegar a: Llegar a: Llegar a: Llegar a:

dy dx dy dx dz dt dv dθ

= 0, =2, = 0,
2

dy = 0 dy − 2dx = 0 dz = 0 dv = 12 θ2 dθ

− 12 θ = 0,

e. w(y) = αy m donde α y m son n´meros reales. u Llegar a: dw − mαy m−1 = 0, dy dw − mαy m−1 dy = 0

2

M´s ejemplos a
Consideremos ahora funciones m´s complejas a las utilizadas arriba. a Ej. 5 Consid´rese la funci´n e o y(x) = x + x2 Su derivada con respecto a x da como resultado la siguiente ED dy = 1 + 2x dx siconsideramos el t´rmino del lado izquierdo como una fracci´n, entonces se tomar´ a dy como el nue o a merador y dx como el denominador. Por lo tanto puede multiplicarse toda la ecuaci´n por el factor dx, o cancelando el denominador. Esto es dy = 1 + 2x (9) dx dy  dx) = (1 + 2x) (dx) (  dx  dy = (1 + 2x) dx (10) Es decir, (9) y (10) son formas equivalentes de la misma ecuaci´n diferencial.Obs´rvese que estas dos no o e son las unicas formas equivalentes en las que la ED puede ser escrita. Usando ´lgebra elemental se tienen ´ a las siguientes opciones dy −1 dx dy dy − dx dy − dx − 2x dx y otras m´s. a Ej. 6 Consid´rese la funci´n e o y(x) = xex Su derivada con respecto a x da como resultado la siguiente ED dy = ex + xex dx Multiplicando la ecuaci´n anterior por el factor dx, se cancela...