ejercicio de sucesiones

ESCUELA DE FORMACION
PROFESIONAL CIENCIAS
FISICO-MATEMATICO

UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN
CRISTOBAL DE HUAMANGA
E.F.P. F´ısico Matem´
aticas

Fecha: 10 de septiembre de 2014

RESOLUCI´
ON DE PROBLEMASDE SUCESIONES
Section 1.1
1

1

A continuaci´
on se dan los primeros t´erminos de una sucesion (Xn )n∈N suponiendo que el patr´
on natural persiste establecer una f´
ornula para el termino n-´esimode
xn .

Encontrar los siguientes l´ımite de sucesiones:
a. l´ım(2 + 1/n)2
b. l´ım

√
n−1
√
n+1

c. l´ım

n+1
√
n+ n

a. 5, 7, 9, 11, ...
b. 1/2, 2/3, 3/4, 4/5, ...
c. 1/2, −1/4, 1/8, −1/16, ...
d. 1,4, 9, 16, ...
2

2

Enlistar los 5 primeros t´erminos de las siguientes sucesiones definidas inductivamente.
1
a. y1 = 2 y yn+1 = (yn + 2/yn )
2
zn+1 + zn
b. z1 = 1, z2 = 2, zn+2 =
zn+1 − zn

3

Darun ejemplo de dos sucesiones divergentes X y Y
tales que su producto X · Y converja.
Section 1.3

1

Se dice que una sucesi´on (xn )n∈N es peri´odica cuando
existe p ∈ N tal que xn+p = xn para todo n ∈N. Pruebe
que toda sucesi´
n peri´odica es convergente.

2

Dada las sucesiones (xn ) e (yn ), defina (zn ) como
z2n−1 = xn y z2n = yn . Pruebe que si l´ım xn = l´ım yn =
a. Entonces l´ım zn = a.

3Pruebe que si l´ım xn = a entonces l´ım |xn | = |a|.

4

Dados a, b ∈ R+ defina las sucesiones (xn ) e (yn ) co√
a+b
√
y xn+1 = xn · yn ,
mo x1 = ab, y y1 =
2
xn + yn
yn+1 =
. Pruebe que (xn ) e (yn) convergen al
2
mismo l´ımite.

5

Se dice que una sucesi´on es de Cauchy cuando, para todo > 0, existe n0 ∈ N tal que m, n > n0 ⇒ |xm −xn | <
.

b
=0
n

3

Demostrar para cualquier b ∈ R, l´ım

4Usar l formulaci´
on −K del l´ımite de una sucesi´on para
establecer los siguientes l´ımites.
1
=0
n2 + 1
2n
=2
b. l´ım
n→∞ n + 1
3n + 1
3
c. l´ım
=
n→∞ 2n + 5
2

√
√
Sean yn =√ n + 1 − n para n ∈ N.Demostrar que
(yn )n∈N y n · yn convergen.

a. l´ım

n→∞

n2 − 1
1
=
n→∞ 2n2 + 3
2

d. l´ım

1
=0
n+7
√
n
f. l´ım
=0
n+1

e. l´ım √

g. l´ım
5

a. Pruebe que toda sucesi´on de Cauchy est´
a acotada....