Ejercicios De Tomas De Deciociones 1

Programación Matemática para Economistas

1.- Una empresa papelera de propiedad pública fabrica dos productos: pulpa de celulosa
obtenida por medios mecánicos y pulpa de celulosa obtenida por medios químicos. Las
capacidades máximas de producción se estiman en 300 y 200 toneladas/día para cada uno de
los dos tipos de pasta de celulosa. Cada tonelada de pasta de celulosa producida demanda unjornal. La empresa dispone de una plantilla de 400 trabajadores, no deseando contratar mano
de obra adicional. El margen bruto (ingresos menos costes variables) por tonelada de pasta
de celulosa obtenida por medios mecánicos se estima en 1.000 u. m. y en 3.000 u. m. la
obtenida por medios químicos.
Las preferencias de la empresa se concretan en maximizar el margen bruto (objetivo
económico)y en la minimización del daño generado en el río en el que la papelera vierte los
residuos productivos (objetivo ambiental). Se estima que los residuos producidos por cada
tonelada de pasta de celulosa obtenida por medios mecánicos y por medios químicos
generan unas demandas biológicas de oxígeno en las aguas del río de 1 y 2 unidades
respectivamente.
a) Plantee el problema multiobjetivo dela empresa, obtenga los óptimos individuales y la
matriz de pagos.
b) Dibuje el conjunto de oportunidades y obtenga, por el método de las ponderaciones,
varias soluciones eficientes extremas. Señale sobre el dibujo el conjunto eficiente.
c) Obtenga varios puntos eficientes interiores por el método de la restricción.
d) Supongamos que la empresa le plantea ahora las siguientes metas:
Nivel 1:Los costes fijos de la papelera se estiman en 300.000 u. m./día. La empresa
desearía, al menos, cubrirlos.
Nivel 2: No se desea que la demanda biológica de oxígeno exceda de las 300 unidades.
Nivel 3: Se desea además que el número total de jornales utilizados sea exactamente el total
disponible, es decir, 400.
Plantee el correspondiente problema de Programación por Metas, y resuélvalo,indicando si la solución obtenida es satisfactoria, y explicitando los valores alcanzados por
cada objetivo.
Solución:
a) Plantee el problema multiobjetivo de la empresa, obtenga los óptimos individuales y la
matriz de pagos.
Sea x1 la cantidad de pulpa de celulosa obtenida por medios mecánicos y x2 la
cantidad de celulosa obtenida por medios químicos.
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Atendiendo a las capacidades máximas de producción de cada una de las variedades,
y a la plantilla de la empresa obtenemos tres restricciones:
x1 ≤ 300,

x2 ≤ 200,

x1 + x2 ≤ 400.

Como las preferencias de la empresa se concretan en la maximización del margen
bruto y en laminimización del impacto ambiental, el problema tendría dos objetivos
correspondientes a:
Max 1000x1 + 3000x2

y

Min x1 + 2x2

Por tanto el problema multiobjetivo lineal correspondiente sería:
M ax 1000 x1 + 3000 x2
M in

x1 + 2 x2

s. a
x1 ≤ 300
x2 ≤ 200
x1 + x2 ≤ 400
x1 , x2 ≥ 0

Para la obtención de los óptimos individuales, tendríamos que resolver dos
problemas correspondientes a:( 1 ) B e n e fic io s
( 2 ) C o n ta m in a c io n

M ax B ( x1 , x2 ) = 1000 x1 + 3000 x2
s. a

M in C ( x 1 , x 2 ) = x 1 + 2 x 2

x1 ≤ 300
x2 ≤ 200
x1 + x2 ≤ 400
x1 , x2 ≥ 0

s. a

y

x1 ≤ 300
x2 ≤ 200
x1 + x2 ≤ 400
x1 , x2 ≥ 0

Si representamos gráficamente ambos problemas, calculando sus correspondiente
óptimos y curvas de nivel, obtenemos que:
f1(x1, x2) = B(x1,x2) alcanza su máximo en el vértice (200, 200)
f2(x1, x2) = C(x1, x2) alcanza su mínimo en el vértice (0, 0)

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