Ejercicios logica

Algebra I, MBI
Prof. Heraldo González S

1

Guía de ejercicios Nº1: Lógica Matemática

Equivalencia lógica: Las leyes de la lógica
(Algebra de proposiciones)
Sean p, q, r proposiciones básicas o primitivas cualesquiera, T0 una tautológica y
F0 una contradicción, entonces se cumple ( o son tautologías)

1

~ (~ p ) ⇔ p

Ley de la doble negación

2

~ ( p ∨ q) ⇔ ~ p ∧ ~ qLeyes de DeMorgan

3

~ ( p ∧ q) ⇔ ~ p∨ ~ q
p∨q ⇔ q∨ p

Leyes conmutativas

4

p∧q ⇔ q∧ p
p ∨ (q ∨ r ) ⇔ ( p ∨ q) ∨ r

Leyes asociativas

5

p ∧ (q ∧ r ) ⇔ ( p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∧ r ) ⇔ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )

Leyes distributivas

6

p ∧ (q ∨ r ) ⇔ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )
p∨ p ⇔ p

Leyes idempotentes

7

p∧ p ⇔ p
p ∨ F0 ⇔ p

Leyes de neutro

p ∧ T0 ⇔ p

8

p ∨ ~ p ⇔T0

Leyes inversas

p ∧ ~ p ⇔ F0

9

p ∨ T0 ⇔ T0

Leyes de dominación

10

p ∧ F0 ⇔ F0
p ∨ ( p ∧ q) ⇔ p

Leyes de absorción

p ∧ ( p ∨ q) ⇔ p

UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE CIENCIA- DMCC

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1

Regla de
Inferencia
p
p→q

2

Reglas de inferencia
Implicación lógica relacionada

[ p ∧ ( p ⇒ q)] ⇒ qNombre de la
regla
Modus Ponens

∴q

[( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ ( p ⇒ r )

Ley de
silogismo

3

∴p→r
p→q
~q

[( p ⇒ q)∧ ~ q ] ⇒~

Modus
Tollens

4

∴~ p
p∨q
~p

[( p ∨ q)∧ ~ p] ⇒ q

5

∴q
~ p → F0

Regla de
Silogismo
disyuntivo

( ~ p ∧ F0 ) ⇒ p

6

∴p
p∧q

Regla de
contradicción

( p ∧ q) ⇒ p

Regla de
simplificación
conjuntiva
Regla deamplificación
conjuntiva
Regla de
demostración
condicional

2

p→q
q→r

p

∴p
7

p

p ⇒ ( p ∨ q)

∴ p∨q
8

p∧q
p → (q → r )

9

∴r
p→r
q→r

10

∴ (p ∨ q) → r
p→q

[( p ∧ q) ∧ [ p ⇒ (q ⇒ r ]] ⇒ r
[( p ⇒ r ) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ [( p ∨ q) ⇒ r ]

Regla de
demostración
por casos

[( p ⇒ q) ∧ (r ⇒ s) ∧ ( p ∨ r )] ⇒ (q ∨ s)

Regla del
dilema
constructivo

[( p ⇒ q) ∧ (r⇒ s) ∧ (~ q∨ ~ s)] ⇒ (~ p∨ ~ r )

Regla del
dilema
destructivo

r→s
p∨r
11

∴ q∨s
p→q
r→s
~ q∨ ~ s
∴ ~ p∨ ~ r

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1) Demuestre mediante Algebra de proposiciones:
a)

[( p ∨ q)∧ ~ p] ⇔ (~ p ∧ q)

b)

[~ ( p ∨ q) ∨ (~ p ∧ q)] ⇔ ~ p

c)

[ p ⇒ (q ∧ r )] ⇔ [( p ⇒q) ∧ ( p ⇒ r )]

2) Usando los datos proporcionados en cada caso, obtenga el valor veritativo pedido:
a) Si se sabe que: p ∧ q es V y además r ∧ p es F, determine el valor de
(r ∨ q ) ⇒ (r ∧ q ) Resp. F
b) Sabiendo que: p ⇒ q es F, r ∧ p es F, determine el valor veritativo de
i)
p ⇔ r Resp. F
ii)
~ [ p ∧ (~ r )] Resp. F
c) De la falsedad de ( p ⇒~ q ) ∨ (~ r ⇒ s ) deduzca el valorveritativo de
i)
(~ p ∧ ~ q ) ∨ (~ q ) Resp. F
ii)
[(~ r ∨ q) ∧ q] ⇔ [(~ q ∨ r ) ∧ s] Resp. F
iii)
( p ⇒ r ) ⇒ [( p ∨ q) ∧ (~ q)] Resp. V

3) Use tablas de verdad para clasificar las siguientes proposiciones como: Tautología,
Contradicción o Contingencia
a) [( p ∨ q) ⇒ q ] ⇒ (~ p ∨ q)
b) b) ( p ⇒ q) ⇒ [( p ∧ r ) ⇒ (q ∧ r )]
c) ~ [(~ p ⇒ q)∧ ~ ( p ∧ q)] ∧ q
d) [( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r )] ⇒ ( p ⇒ r)
4) Si p ↓ q significa “ni p y ni q” ¿Cuáles de las siguientes proposiciones son
tautologías?
a) ( p ↓ q ) ↓ (q ↓ p ) ⇔ ( p ∨ q )

[

]

b) ~ ( p ∧ q ) ⇔ p ↓ q
c) ( p ↓ q ) ⇔ ~ ( p ∨ q )
d) ~ ( p ↓ q ) ⇔ p ∨ q

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5) Sabiendo

4

que la proposición compuesta ~ p ∨[q ⇒ (~ r∨ ~ s )] es verdadera,

determine el valor de

−

verdad de [~ p ⇒ (~ r ∨ q)] ∨ s Resp. V

6) Demuestre mediante Algebra de proposiciones:
d)

[( p ∨ q)∧ ~ p] ⇔ (~ p ∧ q)

e)

[~ ( p ∨ q) ∨ (~ p ∧ q)] ⇔ ~ p

f)

[ p ⇒ (q ∧ r )] ⇔ [( p ⇒ q) ∧ ( p ⇒ r )]

7) Demuestre que cada uno de los siguientes argumentos es válido (es decir, que la
proposición es una tautología),...