Ejercicios02

Barranquilla, August 14, 2015

Universidad del Norte
´ n de ciencias ba
´ sicas
Divisio
´ ticas y estadisticas
Departamento de matema
Ecuaciones diferenciales - Taller 02

Taller semana 2 (03-07.08.15) Ecuaciones diferenciales

Ejemplo 1
Resolver el siguiente PVI
ex−y

√

1 − 2y
2 dy
x3 + √ e−y
= 0,
dx
x

y(0) = 1

Soluci´on
Tenemos

√
√
√ √
ex e−y x4
ex x2 e−y
dy
ex−y x3
ex e−y x3 x
=
−
=
−
=−=−
2
2
2
1 − 2y −y2
dx
(1 − 2y) e−y
(1 − 2y) e−y
(1 − 2y) e−y
√ e
x
ex x2
ex x2
=−
=
−
.
2
2
(1 − 2y) e−y ey
(1 − 2y) e−y +y

Observe que la anterior ecuaci´on es de variables separables, entonces
(1 − 2y) e−y

2 +y

dy =

ex x2 dx + C

Usando la sustituci´on u = −y 2 + y, la primera integral es
(1 − 2y) e−y

2 +y

dy =

eu dy = eu = e−y

2 +y

y la segunda integral se resuelve usando integraci´onpor partes
ex x2 dx = x2 ex −

2xex dx = x2 ex − 2xex −

2ex dx

= x2 ex − 2xex − 2ex = ex (x2 − 2x + 2)

por lo tanto la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial es
e−y

2 +y

= −ex (x2 − 2x + 2) + C

Ahora encontremos el valor de C para determinar la solucion del PVI. En x = 0 tenemos
y = 1, asi
e0 = −e0 · 2 + C
⇒
C=3

entonces la solucion al PVI es

e−y

2 +y

= −ex (x2 − 2x + 2) + 3

NRC:4232,4235 (RP) - 4231 (CD) - 4233 (EB) - 4234 (CDO)
Prof. Catalina Dom´ınguez - Prof. Ricardo Prato T.

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Ejercicios

Ejemplo 2
Aplicando separaci´on de variables resuelva la EDO
sin(x + y) dx + sin y(csc x dy − cos x dx) = 0

Taller semana 2 (03-07.08.15) Ecuaciones diferenciales

Recuerde:

sin(α ± β) := sin (α) cos (β) ± cos (α) sin(β)

Aplicando la identidad de seno de una suma y multiplicando obtenemos
sin(x + y) dx + sin y(csc x dy − cos x dx) = 0
(sin x cos y + cos x sin y) dx + sin y csc x dy − sin y cos x dx = 0
sin x cos y dx + cos x sin y dx + sin y csc x dy − sin y cos x dx = 0
sin x cos y dx + sin y csc x dy = 0
Utilizando separaci´on de variables
sin x cos y dx = − sin y csc x dy
sin x
sin y
dx = −
dy
csc x
cos ysin2 x dx = − tan y dy
sin2 x dx = −
−

tan y dy + C

1
1
sin x cos x + x = ln (cos y) + C
2
2

La soluci´on en forma implicita toma la forma
ln (cos y) +

1
1
sin x cos x − x + C = 0
2
2

o en forma explicita
y = arccos exp −

1
1
sin x cos x + x + C
2
2

Ejemplo 3
Determine los puntos cr´ıticos y el esquema de fase de la EDO. ¿Se puede asegurar existencia
de una soluci´on para el PVI? ¿Lasoluci´on del PVI es una soluci´on de equilibrio? Realice un

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Soluci´on

bosquejo de la soluci´on del PVI

ey − 9
dy
=
dx
ey

y(1) = 0

Soluci´on

Taller semana 2 (03-07.08.15) Ecuaciones diferenciales

dy
ey − 9
Se puede ver la EDOde la forma
=
=: f (y). Por lo tanto, los puntos cr´ıticos se
dx
ey
obtienen cuando f (y) = 0, esto es:
ey − 9
= 0 ⇒ ey − 9 = 0 ⇒ y = ln(9)
ey

Punto Cr´ıtico: {ln(9)}

Claramente f (y) es continua, por lo que se puede suponer que en los dos intervalos (−∞, ln(9))
dy
y (ln(9), ∞) la derivada dx
no cambia de signo, basta evaluar para obtener
Valores
(−∞, ln(9))
y = ln(9)
(ln(9), ∞)

Signo
−
+Observaci´on
y = g(x) es Decreciente
y = g(x) es Constante
y = g(x) es Creciente

en el plano XY se puede observar este comportamiento de la forma siguiente
5

4

Esquema de fase:

3

y(x) = ln 9
2

1

−4

−3

−2

1

−1

2

3

4

−1

Puesto que en la funci´on f (y) la variable x se asume t´acita, se puede afirmar que f esta
definida para cualquier x en R, es decir,
f (x, y) = f (y) =

ey − 9
ey

esuna funci´on continua en R2 , y por tanto se asegura la existencia de alguna soluci´on del
PVI

y
 dy = e − 9
dx
ey

y(x0 ) = y0
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


para cualquier (x0 , y0 ) ∈ R2 ; en especial para (x0 , y0 ) = (1, 0) se cumple la...