ejercicios06

Barranquilla, 2 de marzo de 2015

Universidad del Norte
´ n de ciencias ba
´ sicas
Divisio
´ ticas y estadisticas
Departamento de matema
Ecuaciones diferenciales - Taller Semana 06

Ejemplo 1
Encontrar la soluci´
on general de cada una de las siguientes ecuaciones
(1 + sin x)

dy
+ (2 cos x)y = tan x
dx

Soluci´
on
Claramente la EDO es lineal y su forma est´
andar esta dada por
dy
2 cos x
tan x+
y=
dx 1 + sin x
1 + sin x
Para el factor integrante (asociado a la EDO lineal) se tiene
P (x) :=

P (x) dx =

µ(x) = e

2 cos x
1 + sin x

2 cos x
dx = ln(1 + sin x)2
1 + sin x
P (x) dx

= (1 + sin x)2

Multiplicando µ(x) por la EDO original se tiene
(1 + sin x)2

dy
+ (2 cos x)(1 + sin x)y = (tan x)(1 + sin x)
dx

Puede comprobar que el lado izquierdo de la anterior ecuaci´
on satisface laigualdad
dy
d
((1 + sin x)2 y) = (1 + sin x)2
+ (2 cos x)(1 + sin x)y
dx
dx
entonces

d
((1 + sin x)2 y) = (tan x)(1 + sin x)
dx

es decir,
(1 + sin x)2 y =

(tan x)(1 + sin x) dx + C

= − ln (cos (x)) − sin (x) + ln (sec (x) + tan (x)) + C
NRC: 2997,3000 (RP) - 2998,2999 (CD) - 3001 (EB)
Prof. Catalina Dom´ınguez - Prof. Ricardo Prato T.

1/??

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Tallersemana 6 (02.03.15-06.03.15) Ecuaciones diferenciales

Ejercicios

por lo tanto

y=

C
− ln (cos (x)) − sin (x) + ln (sec (x) + tan (x))
+
2
(1 + sin x)
(1 + sin x)2

Ejemplo 2
Resuelva la EDO
y′ +

y2
cos x
y−
=0
sin x
cos x

Soluci´
on
La EDO NO es una ecuaci´
on lineal, pero al analizarla se tiene que
y′ +

y2
y cos x
=
sin x
cos x

presenta la forma de una Ecuaci´on de Bernoulli con n = 2,por lo tanto consideramos la sustituci´on
v = y 1−n = y −1 ⇒ y = v −1

y ′ = −v −2 v ′

∧

Sustituyendo en la EDO se tiene que
y cos x
y2
=
sin x
cos x
−1 cos x
v
v −2
−v −2 v ′ +
=
sin x
cos x
y′ +

dividiendo por −v −2 (para llevar la EDO a forma normal) se obtiene
v′ −

v cos x
1
=−
sin x
cos x

observando que esta EDO es lineal, entonces
P (x) := −
P (x) dx =

µ(x) = e

−

cos x
sin x

cos x
dx= − ln sin x
sin x

P (x) dx

=

1
sin x

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Taller semana 6 (02.03.15-06.03.15) Ecuaciones diferenciales

Tarea: En la expresi´
on anterior ¿Qu´e t´ermino representa a yc ? ¿Cu´al a yp ?

Multiplicando µ(x) por la EDO se tiene
1 dv
1
1
v cos x1
−
·
=−
sin x dx sin x sin x
sin x cos x
Puede comprobar que el lado izquierdo de la anterior ecuaci´
on satisface la igualdad

entonces

es decir,

1
·v
sin x
d
dx

=

1 dv
v cos x
−
sin x dx
sin2 x

1
·v
sin x

=−

1
sin x cos x

1
dx + C
sin x cos x

1
·v =−
sin x

De lo anterior
1
v = − ln(tan x) + C ⇒
sin x

y=

1
sin x(− ln(tan x) + C)

Ejemplo 3
Resuelva la EDO
(1 + x2 )

dy
+ 2xy = f(x),
dx

y(0) = −1

(1)

donde
x
−x

f (x) :=

0≤x<1
x≥1

Observaci´
on: Asuma que la soluci´
on y(x) de la EDO es continua en (−∞, ∞)
Soluci´
on
La EDO en (??) es lineal y su forma est´
andar esta dada por
2x
f (x)
dy
+
y=
dx 1 + x2
1 + x2
Para el factor integrante (asociado a la EDO lineal) se tiene
P (x) :=

P (x) dx =

µ(x) = e

2x
1 + x2

2x
dx = ln (1 + x2 )
1 + x2
P (x) dx

= 1 + x2

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d
dx

Multiplicando µ(x) por la EDO original se tiene
(1 + x2 )

dy
+ 2xy = f (x)
dx

Puede comprobar que el lado izquierdo de la anterior ecuaci´
on satisface la igualdad

entonces

d
((1 +x2 )y) = f (x)
dx

es decir,
(1 + x2 )y =

f (x) dx + C

(2)

Tomando en cuenta la forma de la funci´
on f (x), se tiene para 0 ≤ x < 1
(1 + x2 )y =

x dx + C =

x2
+C
2

y aplicando la condici´
on inicial (x0 = 0 ∈ [0, 1)!) el valor de C = −1 y por lo tanto la soluci´
on del
PVI esta dada por
(1 + x2 )y =

x2
− 1,
2

(3)

0≤x<1

Como se asume que y(x) es continua en [0, +∞) entonces se tiene...