Ejerciciosresueltosdegeometriadelespacio
Páginas: 46 (11254 palabras)
Publicado: 3 de abril de 2015
EJERCICIOS RESUELTOS DE GEOMETRÍA ANALITICA DEL ESPACIO
1. Determinar la posición relativa de las siguientes parejas de planos:
a)
π : 2x + 3 y − z + 8 = 0
b)
π : 3 x + 2 y − 6z − 7 = 0
c)
π : 3 x − y + z = −1
d)
π : 3x − y + 5 z + 1 = 0
a)
Discutamos el sistema:
π' : −4x − 6y + 2z − 16 = 0
π' : 4x − y + z + 2 = 0
π' : 6x − 2y + 2z = 7
π´: 4x + y + 7z + 12 = 0
2 x + 3 y − z = −8 ⎫
⎬
−4 x − 6 y + 2z = 16⎭
la matriz de coeficientes y la ampliada son, respectivamente:
3 − 1⎞
⎛ 2
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝− 4 − 6 2 ⎠
3 − 1 − 8⎞
⎛ 2
⎟⎟
B = ⎜⎜
⎝ − 4 − 6 2 16 ⎠
como todos los menores de segundo orden que se pueden extraer de la matriz A son nulos ya que:
2
3
= −12 + 12 = 0
−4 −6
2 −1
=4−4=0
−4 2
3 −1
= 6−6 = 0
−6 2
se tiene que r(A)=r(B)=1, el sistema es compatible e indeterminado con dosgrados de indeterminación. Los
dos son coincidentes.
b)
Ahora el sistema a estudiar es:
3x + 2 y − 6z = 7⎫
⎬
4 x − y + z = −2 ⎭
En la matriz A de los coeficientes, el menor:
3 2
= −3 − 8 = −11 ≠ 0
4 −1
por tanto, r(A)=r(B)=2, el sistema es compatible e indeterminado con un grado de indeterminación. Los planos
se cortan en una recta cuyas ecuaciones implícitas son las dadas por el sistema deecuaciones.
c)
En el sistema:
3 x − y + z = −1 ⎫
⎬
6x − 2 y + 2z = 7⎭
Los tres menores de segundo orden extraídos de la matriz de los coeficientes son nulos, en efecto:
3 −1
= −6 + 6 = 0
6 −2
3 1
= 6−6 = 0
6 2
−1 1
= −2 + 2 = 0
−2 2
por tanto, r(A)=1. Pero el ampliado
Los planos son paralelos.
d)
3 −1
= 21 + 6 = 27 ≠ 0 ⇒ r (B) = 2
6 7
El sistema es incompatible.
El sistema es:
3 x − y + 5 z= −1 ⎫
⎬
4 x + y + 7z = −12⎭
Como el menor:
3 −1
=3+4 =7 ≠ 0
4 1
se tiene que r(A)=r(B)=2, el sistema es compatible e indeterminado con un grado de indeterminación. Los
planos se cortan en una recta cuyas ecuaciones implícitas vienen dadas por el sistema de ecuaciones.
2. Dado el plano π : 3 x − 5 y + z − 2 = 0 , determinar la ecuación de un plano
π' , paralelo a π que contenga al punto A(-3, 2,4).
Un vector normal al plano
también normal a
π
es
r
v(3,−5,1) ,
como
π' , por tanto, éste será de la forma:
π'
ha de ser paralelo a
π,
el vector anterior será
π' : 3 x − 5 y + z + D = 0
donde nos falta determinar D, cosa que haremos teniendo en cuenta que el punto A ha de satisfacer la
ecuación de este plano por estar contenido en él, es decir:
3 ⋅ (−3) − 5 ⋅ 2 + 4 + D = 0 ⇒ D = 15siendo, pues
π' : 3 x − 5 y + z + 15 = 0
el plano pedido.
3. Determinar la posición relativa de los planos:
⎧x = 5 − 3t + 2s
⎪
π : ⎨ y = 6 + 2t − s
⎪z = 7 − t + 5 s
⎩
⎧x = 2 + 7µ
⎪
π' : ⎨ y = 6 + λ − 3µ
⎪z = −5 + 13λ + 24µ
⎩
Transformemos ambos planos a la forma implícita, en el primero tenemos que:
x−5 −3 2
y − 6 2 − 1 = 0 ⇒ 10(x − 5) + 3(z − 7) − 2( y − 6) − 4(z − 7) − (x − 5) + 15( y − 6)= 0
z −7 −1 5
⇒ 10 x − 50 + 3z − 21 − 2 y + 12 − 4 z + 28 − x + 5 + 15 y − 90 = 0 ⇒
⇒ π : 9x + 13 y − z − 116 = 0
En cuanto al segundo:
x−2
0
y−6
1
7
z + 5 13
− 3 = 0 ⇒ 24(x − 2) + 91( y − 6) − 7(z + 5) + 39(x − 2) = 0 ⇒
24
⇒ 24 x − 48 + 91y − 546 − 7z − 35 + 39x − 78 = 0 ⇒ π' : 63x + 91y − 7z − 707 = 0
Discutamos ahora el sistema de ecuaciones:
9x + 13 y − z = 116 ⎫
⎬
63x + 91y − 7z =707⎭
Como todos los menores de segundo orden que pueden extraerse de la matriz de los coeficientes son nulos
como es fácil comprobar, r(A)=1 pero el ampliado
incompatible. Los planos son paralelos.
9 116
= −945 ≠ 0 ⇒ r (B) = 2
63 707
y
el sistema es
4. Determinar la posición relativa de los planos:
α:x+y−z+2 =0
β : 2x − y + 3z + 5 = 0
γ : 3x + 2z + 7 = 0
Estudiemos el sistema de ecuaciones queforman los tres.
El determinante de la matriz de los coeficientes es:
1
1
−1
2 −1
3 = −2 + 9 − 3 − 4 = 0 ⇒ r ( A ) ≤ 2
3
2
0
Pero el menor:
1 1
= −1 − 2 = −3 ≠ 0
2 −1
entonces r(A)=2
Orlemos este menor con los términos independientes:
1
1
−2
2 − 1 − 5 = 7 − 15 − 6 + 14 = 0 ⇒ r (B) = 2
3
0
−7
El sistema es compatible e indeterminado con un grado de libertad. Los tres planos se...
1. Determinar la posición relativa de las siguientes parejas de planos:
a)
π : 2x + 3 y − z + 8 = 0
b)
π : 3 x + 2 y − 6z − 7 = 0
c)
π : 3 x − y + z = −1
d)
π : 3x − y + 5 z + 1 = 0
a)
Discutamos el sistema:
π' : −4x − 6y + 2z − 16 = 0
π' : 4x − y + z + 2 = 0
π' : 6x − 2y + 2z = 7
π´: 4x + y + 7z + 12 = 0
2 x + 3 y − z = −8 ⎫
⎬
−4 x − 6 y + 2z = 16⎭
la matriz de coeficientes y la ampliada son, respectivamente:
3 − 1⎞
⎛ 2
⎟⎟
A = ⎜⎜
⎝− 4 − 6 2 ⎠
3 − 1 − 8⎞
⎛ 2
⎟⎟
B = ⎜⎜
⎝ − 4 − 6 2 16 ⎠
como todos los menores de segundo orden que se pueden extraer de la matriz A son nulos ya que:
2
3
= −12 + 12 = 0
−4 −6
2 −1
=4−4=0
−4 2
3 −1
= 6−6 = 0
−6 2
se tiene que r(A)=r(B)=1, el sistema es compatible e indeterminado con dosgrados de indeterminación. Los
dos son coincidentes.
b)
Ahora el sistema a estudiar es:
3x + 2 y − 6z = 7⎫
⎬
4 x − y + z = −2 ⎭
En la matriz A de los coeficientes, el menor:
3 2
= −3 − 8 = −11 ≠ 0
4 −1
por tanto, r(A)=r(B)=2, el sistema es compatible e indeterminado con un grado de indeterminación. Los planos
se cortan en una recta cuyas ecuaciones implícitas son las dadas por el sistema deecuaciones.
c)
En el sistema:
3 x − y + z = −1 ⎫
⎬
6x − 2 y + 2z = 7⎭
Los tres menores de segundo orden extraídos de la matriz de los coeficientes son nulos, en efecto:
3 −1
= −6 + 6 = 0
6 −2
3 1
= 6−6 = 0
6 2
−1 1
= −2 + 2 = 0
−2 2
por tanto, r(A)=1. Pero el ampliado
Los planos son paralelos.
d)
3 −1
= 21 + 6 = 27 ≠ 0 ⇒ r (B) = 2
6 7
El sistema es incompatible.
El sistema es:
3 x − y + 5 z= −1 ⎫
⎬
4 x + y + 7z = −12⎭
Como el menor:
3 −1
=3+4 =7 ≠ 0
4 1
se tiene que r(A)=r(B)=2, el sistema es compatible e indeterminado con un grado de indeterminación. Los
planos se cortan en una recta cuyas ecuaciones implícitas vienen dadas por el sistema de ecuaciones.
2. Dado el plano π : 3 x − 5 y + z − 2 = 0 , determinar la ecuación de un plano
π' , paralelo a π que contenga al punto A(-3, 2,4).
Un vector normal al plano
también normal a
π
es
r
v(3,−5,1) ,
como
π' , por tanto, éste será de la forma:
π'
ha de ser paralelo a
π,
el vector anterior será
π' : 3 x − 5 y + z + D = 0
donde nos falta determinar D, cosa que haremos teniendo en cuenta que el punto A ha de satisfacer la
ecuación de este plano por estar contenido en él, es decir:
3 ⋅ (−3) − 5 ⋅ 2 + 4 + D = 0 ⇒ D = 15siendo, pues
π' : 3 x − 5 y + z + 15 = 0
el plano pedido.
3. Determinar la posición relativa de los planos:
⎧x = 5 − 3t + 2s
⎪
π : ⎨ y = 6 + 2t − s
⎪z = 7 − t + 5 s
⎩
⎧x = 2 + 7µ
⎪
π' : ⎨ y = 6 + λ − 3µ
⎪z = −5 + 13λ + 24µ
⎩
Transformemos ambos planos a la forma implícita, en el primero tenemos que:
x−5 −3 2
y − 6 2 − 1 = 0 ⇒ 10(x − 5) + 3(z − 7) − 2( y − 6) − 4(z − 7) − (x − 5) + 15( y − 6)= 0
z −7 −1 5
⇒ 10 x − 50 + 3z − 21 − 2 y + 12 − 4 z + 28 − x + 5 + 15 y − 90 = 0 ⇒
⇒ π : 9x + 13 y − z − 116 = 0
En cuanto al segundo:
x−2
0
y−6
1
7
z + 5 13
− 3 = 0 ⇒ 24(x − 2) + 91( y − 6) − 7(z + 5) + 39(x − 2) = 0 ⇒
24
⇒ 24 x − 48 + 91y − 546 − 7z − 35 + 39x − 78 = 0 ⇒ π' : 63x + 91y − 7z − 707 = 0
Discutamos ahora el sistema de ecuaciones:
9x + 13 y − z = 116 ⎫
⎬
63x + 91y − 7z =707⎭
Como todos los menores de segundo orden que pueden extraerse de la matriz de los coeficientes son nulos
como es fácil comprobar, r(A)=1 pero el ampliado
incompatible. Los planos son paralelos.
9 116
= −945 ≠ 0 ⇒ r (B) = 2
63 707
y
el sistema es
4. Determinar la posición relativa de los planos:
α:x+y−z+2 =0
β : 2x − y + 3z + 5 = 0
γ : 3x + 2z + 7 = 0
Estudiemos el sistema de ecuaciones queforman los tres.
El determinante de la matriz de los coeficientes es:
1
1
−1
2 −1
3 = −2 + 9 − 3 − 4 = 0 ⇒ r ( A ) ≤ 2
3
2
0
Pero el menor:
1 1
= −1 − 2 = −3 ≠ 0
2 −1
entonces r(A)=2
Orlemos este menor con los términos independientes:
1
1
−2
2 − 1 − 5 = 7 − 15 − 6 + 14 = 0 ⇒ r (B) = 2
3
0
−7
El sistema es compatible e indeterminado con un grado de libertad. Los tres planos se...
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