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Serie de Fourier
Una serie de Fourier es una serie infinita que converge puntualmente a una función periódica y continua a trozos(o por partes). Las series de Fourier constituyen la herramienta matemática básica del análisis de Fourier empleado para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones senoidales mucho más simples (comocombinación de senos y cosenos con frecuencias enteras). El nombre se debe al matemático francés Jean-Baptiste Joseph Fourier que desarrolló la teoría cuando estudiaba la ecuación del calor. Fue el primero que estudió tales series sistemáticamente, y publicando sus resultados iniciales en 1807 y 1811. Esta área de investigación se llama algunas veces Análisis armónico.
Es una aplicación usada enmuchas ramas de la ingeniería, además de ser una herramienta sumamente útil en la teoría matemática abstracta. Áreas de aplicación incluyen análisis vibratorio, acústica, óptica, procesamiento de imágenes y señales, y compresión de datos. En ingeniería, para el caso de los sistemas de telecomunicaciones, y a través del uso de los componentes espectrales de frecuencia de una señal dada, se puedeoptimizar el diseño de un sistema para la señal portadora del mismo. Refierase al uso de un analizador de espectros.
Las series de Fourier tienen la forma:

Donde y se denominan coeficientes de Fourier de la serie de Fourier de la función
Contenido[ocultar] * 1 Definición * 2 Teorema de Dirichlet: Convergencia a una función periódica * 3 Forma exponencial * 4 Ejemplos de series deFourier * 4.1 Ingeniería * 5 Aplicaciones * 6 Formulación moderna * 7 Formulación general * 8 Véase también |
[editar] Definición
Si es una función (o señal) periódica y su período es T, la serie de Fourier asociada a es:

Donde , y son los coeficientes de Fourier que toman los valores:

Por la identidad de Euler, las fórmulas de arriba pueden expresarse también en su forma compleja:Los coeficientes ahora serían:

[editar] Teorema de Dirichlet: Convergencia a una función periódica
Supongamos que f(x) es una función periódica, continua a trozos y acotada, que en un periodo tiene un número finito de máximos y mínimos locales y un número finito de discontinuidades, de período 2p. Sean

y

entonces la serie converge a

En donde , y
[editar] Forma exponencial
Porla identidad de Euler para la exponencial compleja, operando adecuadamente, si

la serie de Fourier se la puede expresar como la suma de dos series:

En forma más compacta:

[editar] Ejemplos de series de Fourier

Grafico de una función periódica.

Animación de la suma de los 5 primeros armónicos.
Veamos un ejemplo:

En este caso, los coeficientes de Fourier nos dan esto:

Si laserie de Fourier converge hacia: ƒ(x) de cada punto x donde ƒ es diferenciable:

[editar] Ingeniería
El análisis de señales en el dominio de la frecuencia se realiza a través de las series de Fourier, por cuanto es muy común, reemplazar la variable x por ωt, resultando las componentes:

Por lo tanto:

[editar] Aplicaciones
* Generación de formas de onda de corriente o tensión eléctrica pormedio de la superposición de senoides generados por osciladores eléctrónicos de amplitud variable cuyas frecuencias ya están determinadas.
* Análisis en el comportamiento armónico de una señal.
* Reforzamiento de señales.
* Estudio de la respuesta en el tiempo de una variable circuital eléctrica donde la señal de entrada no es senoidal o cosenoidal, mediante el uso de transformadas deLaplace y/o solución en régimen permanente senoidal en el dominio de la frecuencia.
* La resolución de algunas ecuaciones diferenciales en derivadas parciales admiten soluciones particulares en forma de series de Fourier fácilmente computables, y que obtener soluciones prácticas, en la teoría de la transmisión del calor, la teoría de placas, etc.
[editar] Formulación moderna
Realmente el...