El Cono
Páginas: 6 (1397 palabras)
Publicado: 20 de febrero de 2013
Desarrollo
Cuerpos de revolución
Llamamos cuerpos de revolución a los cuerpos que se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje.
* Recorta cartulinas de distintas formas. * Pégalas en un palillo de dientes (observa las imágenes). * Sujeta el palillo entre los dedos mientras soplas en el lateral. * Verás que al girar se forman distintos cuerpos. | Formas encartulina | Girar | Cuerpos que se forman |
| | | Cilindro |
| | | Cono |
| | | Tronco de cono |
| | | Diábolo |
Cono
Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
En el dibujo, podemos distinguir los elementos de un cono recto:
Eje: es el cateto AC. El eje del cono es el cateto fijo alrededor delcual gira el triángulo.
Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono.
Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono.
Altura: es la distancia perpendicular del vértice con el centro de la base
Desarrollo del cono en el plano
Este es un cono circular recto:El cono desarrollándose en un plano:
El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.
El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.
El cono completamente desarrollado en un plano, lo que llamamos desarrollo plano del cono:
Área y volumen de un cono
Lacircunferencia completa tiene una longitud de 2r.
* El sector circular tiene una longitud de 2r.
* El área de la base es r2.
* El área del sector circular es:
En otras palabras el área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su arco por la medida del radio.
Tenemos:
AL= ½.2 πrg
AL= πrg.
Es decir, el área lateral del cono circular es igual a lasemicircunferencia de la base, multiplicado por la medida de la generatriz.
Área total del cono = Área lateral + Área de la base
Área total del cono = r g + r2
At= r (g + r).
Volumen del cono
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cono = (área de la base × altura) ÷ 3 |
El volumen de un cono cualquiera equivale a un tercio del volumen de uncilindro de igual base y de igual altura que ese cono. Por ello es que basta dividir por tres (3) o multiplicar por un tercio (1/3) el volumen del cilindro para conocer el volumen del cono allí contenido.
El volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro que tenga la misma base y altura:
Ejemplo:
Si se tiene un cono cuya base es un círculo de 5 cm y su altura es de 12cm, entonces el volumen será de:
Volumen = | 3,14 × 52 × 12
——————— =
3 | 3,14 × 25 × 12
————— =
3 | 948
—— =
3 | 316 cm3 |
El volumen encontrado es de 316 centímetros cúbicos
Formulas para el cálculo del área y volumen de un cono
Generatriz
Área lateral de un cono
Área de un conoVolumen de un cono
Resolución de problemas
Ejemplos
1. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.
Área lateral de un cono
Al= 3.1416. 5.13 = 204.20 cm2
Área de un cono
At= 3,1416. 5.(13+ 5)
At= 15.70.(18)= 282.74 cm2Generatriz
Volumen de un cono
Sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.
Elipse
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz.
Circunferencia
La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular...
Cuerpos de revolución
Llamamos cuerpos de revolución a los cuerpos que se obtienen al girar una figura plana alrededor de un eje.
* Recorta cartulinas de distintas formas. * Pégalas en un palillo de dientes (observa las imágenes). * Sujeta el palillo entre los dedos mientras soplas en el lateral. * Verás que al girar se forman distintos cuerpos. | Formas encartulina | Girar | Cuerpos que se forman |
| | | Cilindro |
| | | Cono |
| | | Tronco de cono |
| | | Diábolo |
Cono
Es el cuerpo de revolución obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos.
En el dibujo, podemos distinguir los elementos de un cono recto:
Eje: es el cateto AC. El eje del cono es el cateto fijo alrededor delcual gira el triángulo.
Base: es el círculo que genera la rotación del otro cateto, AB. Por lo tanto AB es el radio del cono.
Generatriz: es la hipotenusa del triángulo rectángulo, BC, que genera la región lateral conocida como manto del cono.
Altura: es la distancia perpendicular del vértice con el centro de la base
Desarrollo del cono en el plano
Este es un cono circular recto:El cono desarrollándose en un plano:
El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.
El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de la circunferencia de la base.
El cono completamente desarrollado en un plano, lo que llamamos desarrollo plano del cono:
Área y volumen de un cono
Lacircunferencia completa tiene una longitud de 2r.
* El sector circular tiene una longitud de 2r.
* El área de la base es r2.
* El área del sector circular es:
En otras palabras el área de un sector circular es igual al semiproducto de la longitud de su arco por la medida del radio.
Tenemos:
AL= ½.2 πrg
AL= πrg.
Es decir, el área lateral del cono circular es igual a lasemicircunferencia de la base, multiplicado por la medida de la generatriz.
Área total del cono = Área lateral + Área de la base
Área total del cono = r g + r2
At= r (g + r).
Volumen del cono
Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:
Volumen del cono = (área de la base × altura) ÷ 3 |
El volumen de un cono cualquiera equivale a un tercio del volumen de uncilindro de igual base y de igual altura que ese cono. Por ello es que basta dividir por tres (3) o multiplicar por un tercio (1/3) el volumen del cilindro para conocer el volumen del cono allí contenido.
El volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro que tenga la misma base y altura:
Ejemplo:
Si se tiene un cono cuya base es un círculo de 5 cm y su altura es de 12cm, entonces el volumen será de:
Volumen = | 3,14 × 52 × 12
——————— =
3 | 3,14 × 25 × 12
————— =
3 | 948
—— =
3 | 316 cm3 |
El volumen encontrado es de 316 centímetros cúbicos
Formulas para el cálculo del área y volumen de un cono
Generatriz
Área lateral de un cono
Área de un conoVolumen de un cono
Resolución de problemas
Ejemplos
1. Calcula el área lateral, total y el volumen de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base es de 5 cm.
Área lateral de un cono
Al= 3.1416. 5.13 = 204.20 cm2
Área de un cono
At= 3,1416. 5.(13+ 5)
At= 15.70.(18)= 282.74 cm2Generatriz
Volumen de un cono
Sección cónica a la curva intersección de un cono con un plano que no pasa por su vértice.
Elipse
La elipse es la sección producida en una superficie cónica de revolución por un plano oblicuo al eje, que no sea paralelo a la generatriz.
Circunferencia
La circunferencia es la sección producida por un plano perpendicular...
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