el globo que se infla sin nada

UNA PRESENTACIÓN RIGUROSA DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL II

Una semántica para el lenguaje proposicional L (Gamut 2.4-2.5)

En la lógica proposicional, la semántica, la asignación de valores de verdad, la van a llevar a cabo funciones que llamamos ‘valuaciones’. Cada una de ellas va a ofrecer una interpretación de las fórmulas de L, emulando las filas de las tablas de verdad tal como las hemosvisto; esto es, el significado de las conectivas. Nos van a permitir formular con precisión las condiciones de verdad de una fórmula de L. ¿Qué significa interpretar una fórmula del lenguaje proposicional? No es asignarle posibles significados como ‘La nieve es blanca’. Dado que nuestro objetivo es el análisis de la validez o invalidez de las inferencias y, en el marco de tal análisis, lo únicorelevante son los posibles valores de verdad que pueden tomar las premisas y la conclusión, interpretar un lenguaje proposicional consistirá meramente en asignar valores de verdad a sus expresiones. Cada interpretación asignará valores diferentes.

¿Qué es una función valuación?
Las valuaciones harán el trabajo. Son funciones en las cuales el dominio, A, es el conjunto de fórmulas bien formadasde L y el codominio, B, es el conjunto que contiene a 0 y a 1 exclusivamente: B = {0, 1}. No todas las funciones entre A y B serán valuaciones. Por ejemplo, una que asigne 1 tanto a p como a p no lo será. Llamaremos ‘función valuación’ a cualquier función
V: {x/x es una fórmula bien formada de L}{0, 1}
(esto es notación para decir que el dominio de V es el conjunto de las fórmulas bienformadas de L y el codominio el conjunto que contiene a los números 1 y 0) que se comporte del siguiente modo:

(i) V()=1 sii V()=0

V()= significa que V asocia a  de A con  de B. Notemos que en esta cláusula está contenida toda la tabla de verdad de la negación.

(ii) V(  )=1 sii V()=1 y V()=1
(iii) V(  )=1 sii V()=1 o V()=1
(iv) V(  )=0 sii V()=1 y V()=0

¿Es lo mismodefinir los casos en los cuales una fórmula condicional vale 0 que los casos en los que vale 1? ¡Sí! Piense porqué. ¿Y ahora:?


(v) V(  )=1 sii V()=V()

Notemos que, como hemos dicho que cada V es una función, debe asignar un elemento del codominio a cada elmento del dominio, esto es: debe asignar o bien 1 o bien 0, pero no ambos, a cada fórmula de L. Entre ellas se encuentran, comoindica la cláusula (i) de fórmula bien formada de L, las letras proposicionales. Luego, cada V asigna 1 o 0 a cada una de las letras proposicionales del lenguaje. Pero además debe cumplir las cláusulas (i)-(v) que hemos recién especificado para toda valuación. En consecuencia, una vez que V asignó 1 o 0 a cada letra proposicional, el resto de las fórmulas ya tiene su valor de verdad determinado.Notemos asimismo que no hay una única función valuación V. Si bien todas deben comportarse con las fórmulas moleculares como indican las cláusulas (i)-(v), tienen total libertad para con las letras proposicionales, mientras respeten la definición de función y asignen un y sólo un elemento de {0, 1} a cada una de ellas.

Las valuaciones son pues interpretaciones del lenguaje proposicional, queasignan 1 o 0 a cada fórmula. Mientras las letras proposicionales pueden tomar cualquiera de estos valores, el valor de las fórmulas complejas depende del de las simples. Juntas, las valuaciones recorren todas los posibles valores de verdad que puede tomar una fórmula. ¿Cuántas valuaciones hay? Infinitas: la que asigna 1 a todas las letras proposicionales. Le que asigna 0 a todas ellas, la que asigna 1a p y 0 al resto, etc. (recuerde que el lenguaje L tiene un stock infinito de letras proposicionales).

Queremos saber cómo se comportan todas las valuaciones la fórmula:

(p  (q  p))  ((q  q)  p)

¿Recorremos las infinitas? No. Sólo nos va a preocupar qué hacen todas estas valuaciones con las letras proposicionales de nuestra fórmula, que en este caso son p y q. Y para estas dos...