elasticidad energia

Universidad Federico Santa María
Departamento de Obras Civiles

Ecuaciones Básicas de
Elasticidad y Métodos
Energéticos
Análisis Estructural (CIV–234)
H. Jensen & M. Valdebenito

Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Deformación – Desplazamiento
•

Deformada de estructura elástica sometida a cargas y distribución de
temperatura puede ser descrita a través de 3desplazamientos
Campo de
desplazamientos
Estructura descargada

Estructura cargada

P

P
z

x

z
y

Posición P:

USM – Análisis Estructural (CIV–234)

x

y

Posición P:
2

Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Deformación – Desplazamiento
•

Deformaciones pueden ser representadas como derivadas parciales del
campo de desplazamiento. Considerando deformaciones pequeñas:Deformaciones normales
o extensionales

Deformaciones de corte estructural
(en notación tensorial, se antepone
factor 1/2)

USM – Análisis Estructural (CIV–234)

3

Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Deformación – Desplazamiento
•

Ejemplo: caso bidimensional
C’
D’

z

D

x

C

B’

A’

Elemento
infinitesimal

x
A

B

y
USM – Análisis Estructural(CIV–234)

4

Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Deformación – Desplazamiento
•

Ejemplo: caso bidimensional – interpretación

C’
D’

D

C

Deformación normal – dir. x
(cambio de longitud)

B’

A’

x
A

B

y

Caso dir. y es similar

USM – Análisis Estructural (CIV–234)

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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Deformación – Desplazamiento•

Ejemplo: caso bidimensional – interpretación

C’
D’

D

C

Deformación de corte
(desangulación)

B’

A’

x
A

B

y

USM – Análisis Estructural (CIV–234)

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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Esfuerzo – Deformación
•

Deformaciones en estructura elástica pueden ser ocasionadas por
temperatura y/o cargas
– Temperatura
 Efecto de dilatación
Eventualmente, surgen deformaciones elásticas (continuidad /
condiciones de borde)
 Modelamiento:
Deformación térmica
Coeficiente de
dilatación térmica

Delta de Kronecker

Diferencial de
temperatura
USM – Análisis Estructural (CIV–234)

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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Esfuerzo – Deformación
•

Deformaciones en estructura elástica pueden ser ocasionadas portemperatura y/o cargas
– Carga
Recordatorio: Esfuerzos
 Relación entre
deformaciones (𝜖 𝑖𝑗 ) y
esfuerzos (𝜎 𝑖𝑗 )
modelada a través de
la Ley de Hooke
 Material isotrópico y
homogéneo es
caracterizado a través
z
del módulo de Young
(𝐸) y módulo de
y
Poisson (𝜈)
x

USM – Análisis Estructural (CIV–234)

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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Esfuerzo – Deformación
•Deformaciones en estructura elástica pueden ser ocasionadas por
temperatura y/o cargas
– Carga
 Relación entre
deformaciones (𝜖 𝑖𝑗 ) y
esfuerzos (𝜎 𝑖𝑗 )
modelada a través de
la Ley de Hooke
 Nota: se define el
módulo de corte como

USM – Análisis Estructural (CIV–234)

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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Esfuerzo – Deformación
•

Deformación total incluye los efectosdescritos previamente

•

Las relaciones esfuerzo – deformación pueden ser escritas de manera
matricial, i.e.:

USM – Análisis Estructural (CIV–234)

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Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Relaciones Esfuerzo – Deformación
•

Alternativamente, las relaciones esfuerzo – deformación pueden ser
escritas en términos de esfuerzos, i.e.:

USM – Análisis Estructural (CIV–234)

11Ecuaciones Básicas de Elasticidad
Ecuaciones de Equilibrio
•

Relacionan las componentes de esfuerzo (𝜎 𝑖𝑗 ) al considerar equilibrio
respecto de momentos y fuerzas
– Caso bidimensional: 4 esfuerzos, 3 ecuaciones de equilibrio
 Ejemplo: sumatoria de fuerzas en dirección x

A

y

𝑓𝑥 , 𝑓 𝑦 :fuerzas por unidad de área
x
USM – Análisis Estructural (CIV–234)

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Ecuaciones...