Elecricidad

Egomez M.Sc.

SEÑALES Y SISTEMAS

Extraído del documento Directriz de la asignatura Señales y Sistemas

TEORIA DE FOURIER

(Cap. 4 y 5)

EDUARDO GOMEZ VASQUEZ M.Sc.

Universidad Tecnológica de Bolívar

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4. SERIES DE FOURIER
4.1 TIEMPO CONTÍNUO En 1807 Jean Baptiste Fourier propuso que una señal periódica cualquiera xp(t), con periodo To, se puede representar comouna sumatoria de señales exponenciales complejas (o lo que es lo mismo, senos y cosenos), con Amplitudes y Frecuencias que varían armónicamente, en función de la frecuencia fundamental de la señal, wo=2π/To:

xp (t) = ∑akε
−∞

∞

jkwot

1 − jkwot con ak = ∫/xp (t)ε dt To−To 2

To/ 2

Posteriormente en 1829 P.L. Dirichlet suministra las bases matemáticas precisas, bajo las cuales unaseñal xp(t), puede representarse en una serie de Fourier (condiciones de Dirichlet), para un Periodo de la señal se debe cumplir que: 1. xp(t), ha de ser absolutamente integrable ( ∫ xp(t) dt < ∞ )
0 T

2. Ha de existir un número finito de máximos y mínimos 3. Pueden existir discontinuidades, pero debe haber un número finito de ellas. Se observa que prácticamente todas las señales de uso práctico,cumplen estas tres condiciones. Consideremos, la siguiente onda cuadrada periódica: xp(t)

t -4 -3 -2 -1 1 2 3 Tiene un periodo To = 2 y por tanto su frecuencia fundamental es wo = 2π/To = π. Los coeficientes de la serie de Fourier (o lo que es lo mismo la amplitud de las exponenciales complejas) son:

− 1 − jkπt 1 j 1 t = ε ak = ∫ (1)ε − jkπdt = (ε − jkπ − 1) 0 j2kπ 20 2πk

1

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Se observa que si k = 0, sería necesario aplicar límites (mas exactamente, la regla de L’hôpital) para calcular el coeficiente ao. Sin embargo esto no es necesario, si se tiene en cuenta que ao es la magnitud de la señal exponencial compleja a frecuencia 0, ya que si k=0 entonces w=kwo=0. Por tanto ao, es la Componente Continua de la Señal Periódica. Siendo así, podemos hallar ao como elvalor medio de la señal:

1 1 ao = ∫ / 2 x p (t )dt = 2 ∫ (1)dt = 0.5 To − To 0
Extrayendo el término ao, la onda cuadrada anterior, se representa en series de Fourier como:

To / 2

1

x p ( t ) = 0 .5 +

k → −∞ con k ≠ 0

∑

∞

j (ε 2πk

− jk π

− 1) ε

jk π t

Teniendo en cuenta que ejθ=cosθ+jsenθ y que coskπ=(-1)k, senkπ=0, la serie anterior se reduce a:

 ∞ 1 sen( k πt ) k par 2  ∑2 k  k= x p (t ) = 0 .5 −  ∞ 1 π  cos( k π t ) k impar  ∑1 k k=
El resultado anterior se grafica en Matlab, para cuarenta armónicos (-20≤k≤20), utilizando la representación exponencial compleja (mas fácil en Matlab que la sinusoidal) y se puede apreciar en la siguiente página. En la gráfica se observa una fuerte oscilación en la representación en series e Fourier, en lasdiscontinuidades de la onda cuadrada. A este fenómeno se le conoce como fenómeno de Gibbs y no se puede eliminar aún cuando se incremente el número de armónicos. No obstante, cabe destacar que este fenómeno solo se presenta en el caso de señales periódicas, con discontinuidades.

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Onda cuadrada Periódica obtenida de la Serie de Fourier con 40 armónicos 1.2 1 0.8 0.6 xp(t) 0.4 0.2 0-0.2 -3

-2

-1

0 t

1

2

3

4.2 TIEMPO DISCRETO Así como en tiempo continuo, toda señal de tiempo discreto periódica, puede representarse como una suma de señales exponenciales complejas de tiempo discreto, cuya amplitud y frecuencia varían en forma armónica:

x p [ n] =

No −1 k =0

∑a

k

ε

jΩ o kn

1 No −1 con a k = ∑ x p [n]ε − jΩo kn No n = 0

Donde No es elperiodo de la señal periódica xp[n] y Ωo su frecuencia. Se observa sin embargo, que la sumatoria no es infinita, por tanto su precisión es absoluta (no es aproximada). Consideremos ahora una onda cuadrada de tiempo discreto:

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1 0.9 0.8 0.7 0.6 x[n] 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 -20 -15 -10 -5 n 0 5 10 15 20

De la gráfica anterior se deduce que No = 10 y Ωo = 2π/No = π/5. Entonces :...