electricidad y magnetismo 1 ayudantia fabian cadiz

Pontificia Universidad Cat´lica de Chile
o
Facultad de F´
ısica

Teor´ Electromagn´tica
ıa
e
Con ejercicios resueltos

Fabi´n C´diz
a
a

2

Parte I
Electrost´tica
a

3

Cap´
ıtulo 1
Elementos de C´lculo vectorial
a
1.1.

´
Algrebra de Vectores en R3

Esta es una lista de identidades elementales del ´lgebra vectorial, que se supondr´n bien
a
a
conocidas
A · B= Ax Bx + Ay By + Az Bz
ˆ
i
j
A × B = (Ay Bz − Az By ) ˆ + (Az Bx − Ax Bz ) ˆ + (Ax By − Ay Bz ) k
A×A=0
A· A×B =0
A· B×C = A×B ·C
A× B×C = A·C B− A·B C

1.2.

C´lculo diferencial en R3
a

Sea f : [R3 ] → R una funci´n real. Tambi´n es llamada campo escalar, pues a cada punto
o
e
3
del espacio (R ) le asocia un n´mero real (un escalar). Ejemplo de un campo escalar puede ser
ula temperatura en cierta regi´n del espacio T : [Ω ⊆ R3 → R]
o

Fig. 1.1: T (x, y, z) representa un campo escalar sobre Ω
Adem´s de la existencia de campos escalares, tambi´n existen campos vectoriales. La
a
e
idea es bien simple, a cada punto del espacio se le asocia un vector. En R3 , el tipo de campos
vectoriales que nos interesar´n son de la forma F : [Ω ⊆ R3 ] → R3 .
a
5

Fig.1.2: La velocidad de los ´tomos de un objeto que rota es un ejemplo de campo vectorial
a

1.2.1.

Derivadas de un campo escalar

Si f es un campo escalar diferenciable (y por lo tanto una funci´n continua) sobre un
o
3
dominio D ⊆ R , entonces est´ definido el Gradiente de f
a
f (x, y, z) =

∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z)
+
+
∂x
∂y
∂y

El gradiente es un campo vectorial,pues a cada punto en D le asocia un vector. Es
inmediato notar que el gradiente es perpendicular a curvas en donde el campo escalar f es
constante, como las curvas que se muestran en la figura 1. (Llamadas isotermas en el caso de
que el campo escalar sea la temperatura). En efecto, la curva
f (x, y, z) = C
puede ser parametrizada
f (x(t), y(t), z(t)) = C

Derivando con respecto a t, seobtiene
∂f
∂f
∂f
x (t) +
y (t) +
z (t) = 0
∂x
∂y
∂z
∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z) ∂f (x, y, z)
+
+
∂x
∂y
∂y

· (x (t), y (t), z (t)) = 0

y entonces el gradiente es perpendicular a la direcci´n tangente a la curva. M´s a´n, si u es
o
a u
ˆ
un vector unitario, se define la derivada direccional de f en la direcci´n u como
o ˆ
Du f (x, y, z) =
ˆ

f (x, y, z) · u
ˆ

Se puededemostrar que la derivada direccional se maximiza en la direcci´n del gradiente,
o
es decir, el gradiente entrega la direcci´n de m´xima variaci´n de f .
o
a
o

6

1.3.

como un operador

Conviene considerar al gradiente como algo independiende de que funci´n se est´ derivando.
o
a
Llamamos al operador
∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂z

=

Por supuesto que este operador as´ escrito nosignifica nada. El operador
ı
sobre una funci´n, por ejemplo
o

debe operar

∂f ∂f ∂f
,
,
∂x ∂y ∂z

f=

Tiene completo sentido en este caso. Hemos ”multiplicado” al operador por una cantidad
escalar. Hay que tener ciertas precauciones con este tipo de notaci´n, por ejemplo, del ´lgebra
o
a
de vectores es sabido que si α es un escalar
αA = Aα
sin embargo, f

no tiene sentido por simismo, en efecto, es un nuevo operador
f

1.3.1.

=

f

∂
∂
∂
,f ,f
∂x ∂y ∂z

Divergencia y Rotor

Si F es un campo vectorial, entonces
·F
debe ser un escalar, y por lo tanto puede tener un sentido f´
ısico. Entendiendo
operador vectorial, se tiene
·F =

∂ ∂ ∂
, ,
∂x ∂y ∂z

·F =

como un

· (Fx , Fy , Fz )

∂
∂
∂
Fx +
Fy + Fz
∂x
∂y
∂z

A esta cantidad escalarasociada a un campo vectorial se le llama divergencia de F .
Veamos que m´s es posible definir a partir del operador gradiente. ¿Qu´ ocurre con × F ?.
a
e
Por supuesto que el resultado debe ser un campo vectorial, de hecho, muy util en el an´lisis de
´
a
funciones vectoriales. Desarrollando este producto cruz seg´n el ´lgebra de vectores
u
a
×F
×F

x

y

=

∂Fz ∂Fy
−
∂y...