Enteros

Los enteros
Denotaremos por Z el conjunto de n´
umeros enteros y por
N = {0, 1, 2, ...}
el conjunto de los n´
umeros naturales.

Tenemos operaciones elementales de suma y multiplicaci´on
de n´
umerosenteros con los propiedades siguientes para todos
los a, b, c ∈ Z:
1. Propiedades asociativas, a + (b + c) = (a + b) + c, a(bc) =
(ab)c;
2. Propiedades conmutativas a + b = b + a, ab = ba;
3.Propiedad distributiva a(b + c) = ab + ac;
4. Elementos neutros a + 0 = a, a1 = a;
5. Elemento sim´etrico para la suma, existe −a ∈ Z tal que
a + (−a) = 0.
Escribiremos a − b = a + (−b).
Dominio deintegridad: ab = 0 si y s´olo si a = 0 ´o b = 0.

Tenemos definido un orden en los n´
umeros enteros que verifica
a < b implica a + c < b + c
a < b implica ac < bc cuando c es un entero positivo.
Finalmentetenemos definido el valor absoluto en los n´
umeros
enteros mediante |a| es a si a es un n´
umero natural y −a en caso
contrario.
1

Supondremos como axioma b´asico el de conjunto bien ordenadoPrincipio de buena ordenaci´
on
Toda subconjunto S de n´
umeros naturales no vac´ıo contiene
un elemento m´ınimo (i.e. un elemento a ∈ S verificando a ≤ x
para todo x ∈ S).
Este es equivalente a los dosprincipios de inducci´on siguientes
Principio de inducci´
on matem´
atica I
Si S es un subconjunto del conjunto de los n´
umeros naturales
tal que 0 ∈ S y que verifica que
si n ∈ S, entonces n + 1 ∈ Spara cada n´
umero natural n
necesariamente se tiene que S = N.
Principio de inducci´
on matem´
atica II
Si S es un subconjunto del conjunto de los n´
umeros naturales
tal que 0 ∈ S y que verifica que
2.si m ∈ S para cada 0 ≤ m < n entonces n ∈ S para cada
n´
umero natural n
necesariamente se tiene que S = N.
Demostraci´
on por inducci´
on
Sea P (n) una afirmaci´on relativa a los n´
umeros naturalesy
supongamos que queremos demostrala para todo n´
umero natural. Entonceds por el principio de inducci´on podemos
1) Probar P (0)
y
2) Probar que para todo n, si suponemos P (n) entonces deducimos...