Errores

PRÁCTICA No 1
ANÁLISIS Y CÁLCULO DEL ERROR EN MÉTODOS NUMÉRICOS

OBJETIVOS:
El alumno calculará los diferentes tipos de error e identificará su efecto al realizar operaciones numéricas.

INTRODUCCIÓN TEÓRICA
1.1 Análisis e importancia del error.
En el campo de la ingeniería existen infinidad de fenómenos que requieren representarse mediante modelos matemáticos, desafortunadamente lamayoría de estos modelos no tiene una solución exacta ó no es fácil hallarla. Los métodos numéricos proporcionan una solución aproximada al problema original. Un método numérico es aquel que obtiene números que se aproximan a los que se obtendrían aplicando la solución analítica de un problema.
En la práctica de la ingeniería y de las ciencias, se maneja una solución aproximada a un problema por lassiguientes razones:
* Los modelos matemáticos son aproximados (simplificaciones al problema real).
* No se toman en cuenta todos los factores que afectan a un fenómeno.
* Los modelos matemáticos requieren de parámetros, los cuales la mayoría de las veces provienen de mediciones experimentales y estas, solo tienen una precisión limitada, que depende del instrumento de medición.* Los parámetros, también pueden provenir de cálculos y estos tienen una precisión limitada que depende tanto del método como del instrumento de cálculo que se utilicen.
* Los modelos matemáticos resultantes son imposibles de resolver por métodos analíticos y se debe de aproximar la solución numéricamente.
Una definición de análisis numérico podría ser “el estudio de los errores en loscálculos”; Error no quiere decir un disparate, equivocación u omisión, sino una discrepancia entre el valor exacto y el calculado, que es consecuencia de la manera con que se manejan los números o fórmulas. Otra definición de análisis numérico podría ser el diseño, uso y análisis de algoritmos, los cuales son conjuntos de instrucciones cuyo fin es calcular o aproximar alguna cantidad o función.
Losmétodos numéricos son herramientas para a solución de problemas y se constituyen por técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Pueden manejar sistemas de ecuaciones grandes, no linealidades y geometrías complicadas, que son comunes en la ingeniería. También es posible que se utilice algún softwaredisponible que contenga los métodos numéricos, pero el uso inteligente de estos programas depende del conocimiento de la teoría básica de estos métodos.
1.1.1 Definiciones de error
Existen diferentes formas de especificar un error, por principio es una diferencia entre el valor real y un valor aproximado, sí esa diferencia es cero no existe error, pero esa diferencia podría ser positiva onegativa, por lo que es necesario tomar el valor absoluto de esa diferencia y se dice que el error es absoluto; Otra forma de definir al error es como una proporción del valor verdadero. Por otra parte los errores se producen en diversas situaciones, como son las mediciones, el manejo de datos experimentales y al realizar cálculos.
En los métodos numéricos se obtiene un valor aproximado P* alvalor real de la solución P, sin embargo P es desconocido y es el objeto del uso de los método numéricos, por lo que se calculan estimaciones del error particulares a cada método numérico.
La mayoría de los métodos numéricos son iterativos, es decir que se repiten de manera sucesiva, en una serie de pasos, de acuerdo a una formula o ecuación de recurrencia y en cada iteración se obtienen valores P*que se espera sean cada vez más cercanos al valor real P, es decir el error estimado va disminuyendo; Pero también se pueden dar casos en que las aproximaciones sucesivas resulten en errores cada vez más grandes, lo cual se puede explicar con los conceptos de convergencia y estabilidad.
Sean k estimaciones sucesivas de P: P1*, P2*, P3*, P4*, P5*, P6*, P7*,… Pk*
Un método de aproximaciones...