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Guía de Ejercicios Polinomios

Considere los polinomios P(x) y Q(x) que se señalan. En cada caso divida P(x) por Q(x),
determinando el polinomio cociente C(x) y el residuo R(x).
1.
2.
3.4.
5.

P(x) = x5 – 1
P(x) = x3 +3x – 2
P(x) = x7 + 2x6 – 2x5 – 10x4 – 24x3 – 32x2 – 19x – 3
P(x) = 12x5 + 9x4 – x3 – 14x2 – 23x – 4
P(x) = x5 + 2x + 7

Q(x) = x – 1
Q(x) = x – 2
Q(x) = x3 +2x2 + 3x + 4
Q(x) = 3x3 – 4x – 1
Q(x) = (x – 1)2

Encuentre el residuo que se obtiene al dividir P(x) = 5x6 – 7x4 – 3x – 2 por:
6.
7.
8.
9.

x–2
x+1
2x – 3
3x + 4

Factorice al máximoen ℜ los siguientes polinomios:
10. P(x) = 2x5 – 3x4 – 33x3 + 59x2 + 51x – 36
11. P(x) = -2x6 + 9x5 + 7x4 – 49x3 + 15x2 + 20x
12. P(x) = -6x4 + x3 + 4x2 + 31x + 10
ଵ

13. P(x) = ‫ ݔ‬ସ − ସ ‫ ݔ‬ଷ−
ଵଽ

ଵଵ
଼

ଵ

ଷ

‫ݔ‬ଶ + ସ ‫଼ + ݔ‬

ଵ଻

ଵ

14. P(x) = 5‫ ݔ‬ଷ − ଵଶ ‫ ݔ‬ଶ − ଶସ ‫଼ + ݔ‬

Resuelva en ℜ las ecuaciones realizando previamente un análisis completo de éstas:
15. 5x5 + 9x4– 37x3 + 17x2 – 42x + 8 = 0
16. 16x4 – 32x3 + 24x2 – 8x + 1 = 0
17. x4 – 5x3 + 3x2 + 9x = 0

Hallar el valor de k en cada una de las siguientes ecuaciones utilizando la información
indicada:
18.x3 + 3x2 – 5kx + 2 = 0, sabiendo que -2 es una de sus raíces.
19. kx5 – 3x3 + 2kx – 1 = 0 sabiendo que ½ es una de sus raíces.

2

20. x3 + kx + 16 = 0, sabiendo que tiene dos raíces igualesMuestre, usando división sintética, que:
21. P(x) = xn – 1 es siempre divisible por x – 1.
22. P(x) = xn + 1 es siempre divisible por x + 1, si n es IMPAR
23. P(x) = xn – yn es siempre divisible porx – y.
24. P(x) = xn + yn es siempre divisible por x + y, si n es IMPAR
25. Si se sabe que √2 es una raíz del polinomio P(x) = x4 + x3 – 4x2 – 2x + 4, determine las
restantes raíces.

3Respuestas
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

C(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1; R(x) = 0
C(x) = x2 + 2x + 7; R(x) = 12
C(x) = x4 – 5x2 – 4x – 1 ; R(x) = 2x2 + 1
C(x) = 4x2 + 3x + 5 ; R(x) = 2x2 +...